Question

如圖：已知MN∥PQ，同旁內(nèi)角的平分線AB、CD和AD、CD分別相交于點(diǎn)．
（1）猜想AC和BD間的關(guān)系是什么？
（2）試用理由說明你的猜想．（本題將按正確結(jié)論的難易程度給分）

Answer 1

分析：（1）AC與BD互相平分，（2）由題意可以推出∠BAC=∠DCA，繼而推出AB∥CD；推出∠BCA=∠DAC，既而推出AD∥CB，因此四邊形ABCD平行四邊形，所以AC與BD互相平分．

解答：（1）答：AC與BD互相平分，且AC=BD，


（2）證明：∵M(jìn)N∥PQ，
∴∠MAC=∠ACQ、∠ACP=∠NAC，
∵AB、CD分別平分∠MAC和∠ACQ，
∴∠BAC=

1

2

∠MAC、∠DCA=

1

2

∠ACQ，
又∵∠MAC=∠ACQ，∴∠BAC=∠DCA，
∴AB∥CD，
∵AD、CB分別平分∠ACP和∠NAC，
∴∠BCA=

1

2

∠ACP、∠DAC=

1

2

∠NAC，
又∵∠ACP=∠NAC，
∴∠BCA=∠DAC，
∴AD∥CB，
又∵AB∥CD，
∴四邊形ABCD平行四邊形，
∵∠BAC=

1

2

∠MAC，∠ACB=

1

2

∠ACP，
又∵∠MAC+∠ACP=180°，
∴∠BAC+∠ACP=90°，
∴∠ABC=90°，
∴平行四邊形ABCD是矩形．

點(diǎn)評：本題主要考查平行線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵在于根據(jù)已知條件推出AD∥CB，AB∥CD，求證四邊形ABCD平行四邊形．