Question

拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過直線y=-x+3與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn)A、B，拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C，拋物線的頂點(diǎn)為D．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）試判斷△ABD的形狀，并證明你的結(jié)論；
（3）在坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、A、B、D為頂點(diǎn)的四邊形是梯形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由直線AB的解析式可求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；再由待定系數(shù)法求出拋物線的解析式．
（2）由（1）的拋物線解析式能求出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后求出AB、AD、BD三邊的長(zhǎng)，據(jù)此判斷△ABD的形狀．
（3）應(yīng)分三種情況：
①過點(diǎn)D作AB的平行線PD，那么點(diǎn)P為直線PD與x或y軸的交點(diǎn)；可先求出∠OPD的度數(shù)，根據(jù)這個(gè)特殊度數(shù)來求出OP的長(zhǎng)，由此得出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②過點(diǎn)B作AD的平行線BP，此時(shí)△OBP、△EDA（如圖）相似，根據(jù)相似三角形得到的比例線段求出OP的長(zhǎng)，據(jù)此求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
③過點(diǎn)A作BD的平行線AP，解題思路同①．

解答：解：（1）如圖，∵直線y=-x+3與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn)為A、B，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，3）．
又∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)A、B，
∴

0=-9+3b+c 3=c

，
解得

b=2 c=3

∴拋物線的解析式為y=x²+2x+3．

（2）△ABD為直角三角形．
∵拋物線y=-x²+2x+3的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，4），過點(diǎn)D作DE⊥x軸于E，DE⊥y軸于F．
∴可求BD=

2

，AB=3

2

，AD=2

5

．
∴AB²+BD²=AD²．
∴△ABD為直角三角形．

（3）如圖，坐標(biāo)軸上存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、A、B、D為頂點(diǎn)的四邊形是梯形．
 分為三種情況：
①以AB為底邊．
過點(diǎn)D作PD∥AB交y軸于點(diǎn)P．
∵可知∠ABO=45°，
∴∠DPO=45°．
∴可求PF=1．
∴PO=5．即點(diǎn)P（0，5）．
若過點(diǎn)D作P₁D∥AB交x軸于點(diǎn)P₁ ．
同理可求P₁坐標(biāo)為（5，0）．
②以AD為底．
過點(diǎn)B作P₂B∥AD交x軸于點(diǎn)P₂ ．
利用△ADE∽△P₂BO可求出點(diǎn)P₂的坐標(biāo)為（

3

2

，0）．
 ③以BD為底．
過點(diǎn)A作P₃A∥BD交y軸于點(diǎn)P₃ ．
∵∠ABD=90°，
∴∠BAP₃=90°．
又∵∠BAO=45°，
∴∠P₃AO=45°．
∴AO=P₃O=3．
∴點(diǎn)P₃的坐標(biāo)為（0，-3）．
綜上所述，點(diǎn)P坐標(biāo)分別為（5，0）或（

3

2

，0）或（0，5）或（0，-3）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了利用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式、直角三角形的判定、梯形的判定等綜合知識(shí)；最后一題的解題方法較多，還可以先求出另一底的直線解析式，再求出直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)即可．