Question

如圖，在矩形ABCD中，AD=4，AB=m（m＞4），點P是AB邊上的任意一點（不與A、B重合），連接PD，過點P作PQ⊥PD，交直線BC于點Q．
（1）當m=10時，是否存在點P使得點Q與點C重合？若存在，求出此時AP的長；若不存在，說明理由；
（2）若△PQD為等腰三角形，求以P、Q、C、D為頂點的四邊形的面積S與m之間的函數(shù)關系式．
（3）在原圖中，連接AC，若PQ∥AC，求線段BQ的長（用含m的代數(shù)式表示）

Answer 1

分析：（1）假設存在，從存在出發(fā)得到△PBC∽△DAP，利用相似三角形得到

PB

DA

=

BC

AP

，從而得到有關t的方程，求解即可得到答案；
（2）由已知 PQ⊥PD，所以只有當DP=PQ時，△PQD為等腰三角形，根據(jù)等腰三角形的性質求得結論即可；
（3）根據(jù)題意分△ABC∽△DAP和△PBQ∽△ABC兩種情況列出比例式后即可用含有m的代數(shù)式表示出線段BQ的值即可．

解答：（1）假設當m=10時，存在點P使得點Q與點C重合（如下圖），設AP=x
∵PQ⊥PD∴∠DPC=90°，
∴∠APD+∠BPC=90°，
又∠ADP+∠APD=90°，
∴∠BPC=∠ADP，
又∠B=∠A=90°，
∴△PBC∽△DAP，
∴

PB

DA

=

BC

AP

，
∴

10-x

4

=

4

x

，
∴x²-10x+16=0
解得：x=2或8，
∴存在點P使得點Q與點C重合，出此時AP的長2 或8．
（2）由已知 PQ⊥PD，所以只有當DP=PQ時，△PQD為等腰三角形（如圖），

∴∠BPQ=∠ADP，又∠B=∠A=90°，
∴△PBQ≌△DAP，（5分）
∴PB=DA=4，AP=BQ=m-4，（6分）
∴以P、Q、C、D為頂點的四邊形的面積S與m之間的
函數(shù)關系式為：S_{四邊形PQCD}=S_矩形ABCD-S_△DAP-S_△QBP
=DA×AB-

1

2

×DA×AP-

1

2

×PB×BQ
=4m-

1

2

×4×（m-4）-

1

2

×4×（m-4）=16．
（3）如下圖，∵PQ∥AC，
∴∠BPQ=∠BAC，
∵∠BPQ=∠ADP，
∴∠BAC=∠ADP，又∠B=∠DAP=90°，
∴△ABC∽△DAP，
∴

AB

DA

=

BC

AP

，
即

m

4

=

4

AP

，
∴AP=

16

m

．
∵PQ∥AC，
∴∠BPQ=∠BAC，
∵∠B=∠B，
∴△PBQ∽△ABC，

PB

AB

=

BQ

BC

，即

m- 16 m

m

=

BQ

4

，
∴BQ=4-

64

m2

．

點評：本題考查了相似形的綜合知識，解題的關鍵是從復雜的幾何圖形中整理出相似三角形的模型并利用相似三角形的知識解決問題，此類考題是中考的熱點考題之一，應重點掌握．