Question

已知拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)D，并與x軸相交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸相交于點(diǎn)C．

（1）求點(diǎn)A、B、C、D的坐標(biāo)；
（2）在y軸的正半軸上是否存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)P、O、A為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）取點(diǎn)E（，0）和點(diǎn)F（0，），直線l經(jīng)過E、F兩點(diǎn)，點(diǎn)G是線段BD的中點(diǎn)．
①點(diǎn)G是否在直線l上，請說明理由；
②在拋物線上是否存在點(diǎn)M，使點(diǎn)M關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)在x軸上？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）在中，令y=0，則，整理得，4x²﹣12x﹣7=0，
解得x₁=，x₂=�！郃（，0），B（，0）。
在中，令x=0，則y= �！郈（0，）。
∵，∴頂點(diǎn)D（，﹣4）。
（2）在y軸正半軸上存在符合條件的點(diǎn)P。
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，y），
∵A（，0），C（0，），∴OA=，OC=，OP=y，
①若OA和OA是對應(yīng)邊，則△AOP∽△AOC，∴�！鄖=OC=，此時點(diǎn)P（0，）。
②若OA和OC是對應(yīng)邊，則△POA∽△AOC，∴，即。
解得y=，此時點(diǎn)P（0，）。
綜上所述，符合條件的點(diǎn)P有兩個，P（0，）或（0，）。
（3）①設(shè)直線l的解析式為y=kx+b（k≠0），
∵直線l經(jīng)過點(diǎn)E（，0）和點(diǎn)F（0，），
∴，解得，
∴直線l的解析式為。
∵B（，0），D（，﹣4），
∴，∴線段BD的中點(diǎn)G的坐標(biāo)為（，﹣2）。
當(dāng)x=時，，∴點(diǎn)G在直線l上。
②在拋物線上存在符合條件的點(diǎn)M。

設(shè)拋物線的對稱軸與x軸交點(diǎn)為H，則點(diǎn)H的坐標(biāo)為（，0），
∵E（，0）、F（0，），B（，0）、D（，﹣4），
∴OE=，OF=，HD=4，HB=﹣=2。
∵，∠OEF=∠HDB，
∴△OEF∽△HDB�！唷螼FE=∠HBD。
∵∠OEF+∠OFE=90°，∴∠OEF+∠HBD=90°。
∴∠EGB=180°﹣（∠OEF+∠HBD）
=180°﹣90°=90°，
∴直線l是線段BD的垂直平分線。
∴點(diǎn)D關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)就是點(diǎn)B。
∴點(diǎn)M就是直線DE與拋物線的交點(diǎn)。
設(shè)直線DE的解析式為y=mx+n，
∵D（，﹣4），E（，0），
∴，解得。
∴直線DE的解析式為。
聯(lián)立，解得，。
∴符合條件的點(diǎn)M有兩個，是（，﹣4）或（，）。

試題分析：（1）令y=0，解關(guān)于x的一元二次方程求出A、B的坐標(biāo)，令x=0求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式計算即可求出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)。
（2）根據(jù)點(diǎn)A、C的坐標(biāo)求出OA、OC的長，再分OA和OA是對應(yīng)邊，OA和OC是對應(yīng)邊兩種情況，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求出OP的長，從而得解。
（3）①設(shè)直線l的解析式為y=kx+b（k≠0），利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式求出直線l的解析式，再利用中點(diǎn)公式求出點(diǎn)G的坐標(biāo)，然后根據(jù)直線上點(diǎn)的坐標(biāo)特征驗證即可。
②設(shè)拋物線的對稱軸與x軸交點(diǎn)為H，求出OE、OF、HD、HB的長，然后求出△OEF和△HDB相似，根據(jù)相似三角形對應(yīng)角相等求出∠OFE=∠HBD，然后求出EG⊥BD，從而得到直線l是線段BD的垂直平分線，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)點(diǎn)D關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)就是B，從而判斷出點(diǎn)M就是直線DE與拋物線的交點(diǎn)。再設(shè)直線DE的解析式為y=mx+n，利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析求出直線DE的解析式，然后與拋物線解析式聯(lián)立求解即可得到符合條件的點(diǎn)M。