Question

如圖，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作AF∥BC，AF與CE的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F，連接BF．   
（1）求證：AF=DC；
（2）若∠BAC=90°，求證：四邊形AFBD是菱形．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先根據(jù)中點(diǎn)定義可得AE=ED，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠1=∠2，再有∠AEF=∠DEC可以利用AAS定理證明△AEF≌△DEC，再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等證出AF=DC；
（2）首先證明四邊形AFBD是平行四邊形，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)：斜邊上的中線等于斜邊的一半證明AD=BC，再由D是BC的中點(diǎn)，可得BD=CD=BC，進(jìn)而得到AD=BD，即可根據(jù)一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形證出結(jié)論．
解答：（1）證明：∵E是AD的中點(diǎn)，
∴AE=DE，
∵AF∥BC，
∴∠1=∠2，
在△AEF和△DEC中，
∴△AFE≌△DCE（AAS），
∴AF=DC；

（2）證明：∵D是BC的中點(diǎn)，
∴DB=CD=BC，
∵AF=CD，
∴AF=DB，
∵AF∥BD，
∴四邊形AFBD是平行四邊形，
∵∠BAC=90°，D為BC中點(diǎn)，
∴AD=CB=DB，
∴四邊形AFBD是菱形．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，以及菱形的判定，關(guān)鍵是掌握：①全等三角形的判定定理：SSS、SAS、AAS、ASA；②菱形的判定方法：菱形定義：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；四條邊都相等的四邊形是菱形；對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形．