Question

（2005•蘭州）已知二次函數(shù)y=ax²-4a圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，4）矩形ABCD在拋物線與x軸圍成的圖形內(nèi)，頂點(diǎn)B、C在x軸上，頂點(diǎn)A、D在拋物線上，且A在D點(diǎn)的右側(cè)，
（1）求二次函數(shù)的解析式______；
（2）設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x，y），試求矩形ABCD的周長(zhǎng)L與自變量x的函數(shù)關(guān)系；
（3）周長(zhǎng)為10的矩形ABCD是否存在？若存在，請(qǐng)求出頂點(diǎn)A的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接利用待定系數(shù)法求解即可：y=-x²+4?；
（2）根據(jù)解析式可表示出AD=2x，AB=-x²+4，所以矩形ABCD的周長(zhǎng)L與自變量x的函數(shù)關(guān)系為l=-2x²+4x+8?（0＜x＜2）；
（3）直接把l=10代入解析式求得x=1，結(jié)合實(shí)際意義可知存在周長(zhǎng)為10的矩形ABCD，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，3）．
解答：解：（1）由題意得-4a=4
∴a=-1
∴二次函數(shù)的解析式為?y=-x²+4
（2）設(shè)點(diǎn)A（x，y）
∵點(diǎn)A在拋物線y=-x²+4上
∴y=-x²+4則AD=2x，AB=-x²+4
∴L=2（AD+AB）=2（2x-x²+4）=-2x²+4x+8?（0＜x＜2?）?
（3）當(dāng)L=10時(shí)-2x²+4x+8=10x²-2x+1=0
∴x₁=x₂=1
∴當(dāng)x=1時(shí)，y=-1+4=3
∴存在周長(zhǎng)為10的矩形ABCD，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，3）．
點(diǎn)評(píng)：主要考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式和矩形的性質(zhì)．一般步驟是先設(shè)y=ax²+bx+c，再把對(duì)應(yīng)的三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入解出a，b，c的值即可得到解析式．解題關(guān)鍵是利用矩形的性質(zhì)和二次函數(shù)有機(jī)的結(jié)合在一起，利用數(shù)形結(jié)合的思想解題．