Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=，點P在線段AC上，過點P作PE⊥AB，PD∥AB交BC于D，過點D作DF⊥AB于點F．設PE的長為x，PD的長為y，已知y是x的函數(shù)，其圖象經(jīng)過點（，15）
（1）求y與x之間的函數(shù)關系式；
（2）求線段AC的長；
（3）當x為何值時，矩形PEFD的面積最大，并求出最大值．

Answer 1

解：（1）∵cosA=，
∴sinA=，
∵Rt△APE中，sinA=，
∴AP=PE=，
設AC長為z，則CP=AC-AP=z-，
∵PD∥AB，則∠DPC=∠A，
∴Rt△PCD中，cos∠DPC=cosA===，
則=，
∵其圖象經(jīng)過點（，15）
∴4×=z-，
解得z=20
∴=20-，
即y=25-；

（2）根據(jù)上題可得AC=20；

（3）S_矩形=xy=x（25-）=-x²+25x=-（x²-12x+36-36）=-（x-6）²+75，
∴當x=6時，矩形PEFD的面積最大，最大值為75．
分析：（1）利用cosA=表示出sinA，然后在直角三角形APE和直角三角形PCD中分別利用合適的邊角關系表示出來，然后將點（，15）代入即可求得函數(shù)解析式；
（2）將點（，15）的坐標代入求得的函數(shù)解析式即可求得AC的長；
（3）利用矩形的面積表示出來，然后利用配方法求最值即可．
點評：本題考查了相似三角形的判定及性質(zhì)、二次函數(shù)的最值及解直角三角形的知識，是一道綜合性較強的題目．