Question

12．（1）問題發(fā)現(xiàn)：
如圖（1），△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，點(diǎn)B在線段AE上，點(diǎn)C在線段AD上，請(qǐng)直接寫出線段BE與線段CD的數(shù)量關(guān)系：BE=CD；
（2）操作探究：
如圖（2），將圖（1）中的△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜360°），請(qǐng)判斷并證明線段BE與線段CD的數(shù)量關(guān)系；
（3）解決問題：
將圖（1）中的△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜360°），若DE=2AC，在旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)以A、B、C、D四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，請(qǐng)直接寫出旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AB=AC，AE=AD，再根據(jù)等量關(guān)系可得線段BE與線段CD的關(guān)系；
（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AB=AC，AE=AD，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠BAE=∠CAD，根據(jù)SAS可證△BAE≌△CAD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可求解；
（3）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得∠ABC=∠ADC=45°，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可求解．

解答 解：（1）∵△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，
∴AB=AC，AE=AD，
∴AE-AB=AD-AC，
∴BE=CD；

（2）∵△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，
∴AB=AC，AE=AD，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，∠BAE=∠CAD，
在△BAE與△CAD中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAE=∠CAD}\\{AE=AD}\end{array}\right.$，
∴△BAE≌△CAD（SAS）
∴BE=CD；

（3）如圖，

∵以A、B、C、D四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，△ABC和△AED都是等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠ADC=45°，
∵ED=2AC，
∴AC=CD，
∴∠CAD=45°
或360°-90°-45°=225°，或360°-45°=315°
∴角α的度數(shù)是45°或225°或315°．
故答案為：BE=CD．

點(diǎn)評(píng) 此題是四邊形綜合題，涉及的知識(shí)點(diǎn)有：等腰直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，解（2）的關(guān)鍵是判斷出△BAE≌△CAD，解（3）的關(guān)鍵是畫出示意圖；綜合性較強(qiáng)，難度中等．