Question

對于一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），下列說法：
①若

a

c

+

b

c

=-1，則方程ax²+bx+c=0一定有一根是x=1；
②若c=a³，b=2a²，則方程ax²+bx+c=0有兩個相等的實數(shù)根；
③若a＜0，b＜0，c＞0，則方程cx²+bx+a=0必有實數(shù)根；
④若ab-bc=0，且

a

c

＜-1，則方程cx²+bx+a=0的兩實數(shù)一定互為相反數(shù)．其中正確的結論是（　�。�

• A、①②③④
• B、①②④
• C、①③
• D、②④

Answer 1

分析：①本題根據(jù)一元二次方程的根的定義即可判斷；
②只要證明△=0即可．
③只要驗證△的值大于或等于0，就可以；
④兩實數(shù)一定互為相反數(shù)，即兩根的和是0，依據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系即可作出判斷．

解答：解：①若

a

c

+

b

c

=-1，兩邊同時乘以c得到a+b+c=0，在ax²+bx+c=0中令x=1，就得到a+b+c=0，即x=1能使方程的左右兩邊相等，因而x=1是方程的解；
②若c=a³，b=2a²，則方程根的判別式△=b²-4ac=4a⁴-4ac=4a⁴-4a⁴=0，∴方程兩個相等的實數(shù)根．
③方程根的判別式△=b²-4ac，∵a＜0，b＜0，c＞0，∴△=b²-4ac＞0一定成立，因而方程cx²+bx+a=0必有實數(shù)根．
④ab-bc=0即b（a-c）=0，又∵

a

c

＜-1，則a-c≠0，∴b=0，根據(jù)韋達定理：兩根的和是-

b

a

=0即兩實數(shù)一定互為相反數(shù)．
所以正確的答案為①②③④．
故本題選A．

點評：本題主要考查了一元二次方程的解的定義，根的判別式，以及韋達定理的內(nèi)容．