Question

如圖所示，已知在直角梯形OABC中，AB∥OC，BC⊥x軸于點(diǎn)C．A（1，1）、B（3，1）．動(dòng)點(diǎn)P從O點(diǎn)出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度移動(dòng)．過(guò)P點(diǎn)作PQ垂直于直線OA，垂足為Q，設(shè)P點(diǎn)移動(dòng)的時(shí)間為t秒（0＜t＜4），△OPQ與直角梯形OABC重疊部分的面積為S．
（1）求經(jīng)過(guò)O、A、B三點(diǎn)的拋物線解析式；
（2）求S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）將△OPQ繞著點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，是否存t，使得△OPQ的頂點(diǎn)O或Q在拋物線上？若存在，直接寫出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出此拋物線的解析式，把A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入此解析式求出a、b的值即可；
（2）由與t的取值范圍不能確定，故應(yīng)分三種情況進(jìn)行討論，
①當(dāng)0＜t≤2，重疊部分的面積是S_△OPQ，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥x軸于點(diǎn)F，在Rt△OPQ中利用三角形的面積公式及特殊角的三角函數(shù)值即可求出其面積；
②當(dāng)2＜t≤3，設(shè)PQ交AB于點(diǎn)G，作GH⊥x軸于點(diǎn)H，∠OPQ=∠QOP=45°，則四邊形OAGP是等腰梯形，
重疊部分的面積是S_梯形OAGP，由梯形的面積公式即可求解；
③當(dāng)3＜t＜4，設(shè)PQ與AB交于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N，重疊部分的面積是S_{五邊形OAMNC}．
因?yàn)椤鱌NC和△BMN都是等腰直角三角形，所以重疊部分的面積是S_{五邊形OAMNC}=S_梯形OABC-S_△BMN，進(jìn)而可求出答案；
（3）根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可求出將△OPQ繞著點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°時(shí)P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)拋物線的解析式即可求出t的值．

解答：解：（1）解法一：由圖象可知：拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，
設(shè)拋物線解析式為y=ax²+bx（a≠0）．
把A（1，1），B（3，1）代入上式得

1=a+b 1=9a+3b

，
解得

a=- 1 3 b= 4 3

，
∴所求拋物線解析式為y=-

1

3

x²+

4

3

x；

解法二：∵A（1，1），B（3，1），∴拋物線的對(duì)稱軸是直線x=2．
設(shè)拋物線解析式為y=a（x-2）²+h（a≠0），
把O（0，0），A（1，1）代入得

0=a(0-2)2+h 1=a(1-2)2+h

解得

a=- 1 3 h= 4 3

∴所求拋物線解析式為：y=-

1

3

（x-2）²+

4

3

．

（2）分三種情況：
①當(dāng)0＜t≤2，重疊部分的面積是S_△OPQ，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥x軸于點(diǎn)F，
∵A（1，1），在Rt△OAF中，AF=OF=1，∠AOF=45°，
在Rt△OPQ中，OP=t，∠OPQ=∠QOP=45°，
∴PQ=OQ=tcos45°=

2

2

t，
∴S=

1

2

（

2

2

t）²=

1

4

t²．

②當(dāng)2＜t≤3，設(shè)PQ交AB于點(diǎn)G，
作GH⊥x軸于點(diǎn)H，∠OPQ=∠QOP=45°，則四邊形OAGP是等腰梯形，
重疊部分的面積是S_梯形OAGP．
∴AG=FH=t-2，
∴S=

1

2

（AG+OP）AF=

1

2

（t+t-2）×1=t-1．

③當(dāng)3＜t＜4，設(shè)PQ與AB交于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N，
重疊部分的面積是S_{五邊形OAMNC}．
因?yàn)椤鱌NC和△BMN都是等腰直角三角形，
所以重疊部分的面積是S_{五邊形OAMNC}=S_梯形OABC-S_△BMN．
∵B（3，1），OP=t，
∴PC=CN=t-3，
∴BM=BN=1-（t-3）=4-t，
∴S=

1

2

（2+3）×1-

1

2

（4-t）² S=-

1

2

t²+4t-

11

2

；

（3）存在t₁=1，t₂=2．
將△OPQ繞著點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，此時(shí)Q（t+

t

2

，

t

2

），O（t，t）
①當(dāng)點(diǎn)Q在拋物線上時(shí)，

t

2

=-

1

3

×（t+

t

2

）²+

4

3

×（t+

t

2

），解得t=2；
②當(dāng)點(diǎn)O在拋物線上時(shí)，t=-

1

3

t²+

4

3

t，解得t=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及到用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，三角形的面積公式、梯形的面積公式及圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，涉及面較廣，難度較大．