Question

如圖，在邊長為a的正方形中，E、F分別為邊BC和CD上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)E和點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)時(shí)， AE和EF保持垂直。則①△ABE∽△FCE;②當(dāng)BE=a時(shí)、梯形ABCF的面積最大；③當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到BC中點(diǎn)時(shí)Rt ABE∽R(shí)t△AEF;④當(dāng)Rt ABE∽R(shí)t△AEF時(shí)cos∠AFE=其中正確結(jié)論的序號(hào)是 ．

Answer 1

①②③

【解析】①證明：∵四邊形ABCD為正方形，

∴∠B=∠C=90°，

又∵AE⊥EF，

∴∠AEF=90°，

∴∠AEB+∠FEC=90°，

而∠AEB+∠BAE=90°，

∴∠BAE=∠FEC，

∴Rt△ABE∽R(shí)t△ECF，故①正確

② 解 ：∵Rt△ABE∽R(shí)t△ECF，

∴AB：EC=BE：CF，

又∵AB=a，設(shè)BE=x，則CE=a﹣x，

∴a：（a﹣x）=x：CF，

∴CF=，

∴

∴當(dāng)時(shí)，取得最大值。故②正確

③當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到BC中點(diǎn)時(shí)，BE=EC=

在直角三角形ABE中，由勾股定理解得

又由Rt△ABE∽R(shí)t△ECF可知

即

解得CF=，EF=

所以在直角三角形AEF中，由勾股定理得

在直角三角形ABE和直角三角形AEF中，

∴Rt ABE與Rt△AEF相似。故③正確

④由③可知當(dāng)Rt ABE∽R(shí)t△AEF時(shí),點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)

∴

∴。故④錯(cuò)誤

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)；梯形