Question

25、如圖，任意四邊形ABCD，對角線AC、BD交于O點，過各頂點分別作對角線AC、BD的平行線，四條平行線圍成一個四邊形EFGH．試想當(dāng)四邊形ABCD的形狀發(fā)生改變時，四邊形EFGH的形狀會有哪些變化？完成以下題目：
（1）當(dāng)ABCD為任意四邊形時，EFGH為

平行四邊形

；
當(dāng)ABCD為矩形時，EFGH為

菱形

；
當(dāng)ABCD為菱形時，EFGH為

矩形

；
當(dāng)ABCD為正方形時，EFGH為

正方形

；
當(dāng)EFGH是矩形時，ABCD為

對角線垂直的四邊形

；
當(dāng)EFGH是菱形時，ABCD為

對角線相等的四邊形

；
當(dāng)EFGH是正方形時，ABCD為

對角線相等且垂直的四邊形

．
（2）請選擇（1）中任意一個你所寫的結(jié)論進(jìn)行證明．
（3）反之，當(dāng)用上述方法所圍成的平行四邊形EFGH分別是矩形、菱形時，相應(yīng)的原四邊形ABCD必須滿足怎樣的條件？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)圖形的特點及性質(zhì)可直接判斷．
（2）利用兩條直線都平行于第三條直線，則這兩條直線平行，再利用兩組對邊平行的四邊形是平行四邊形．
（3）和（2）中的問題重合．主要是利用對角線相等的平行四邊形是矩形以及一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形來進(jìn)行確定條件．

解答：解：（1）平行四邊形；菱形；矩形；正方形；對角線垂直的四邊形；對角線相等的四邊形；對角線相等且垂直的四邊形．

（2）結(jié)合圖形，聯(lián)想特殊四邊形的特征及識別很容易發(fā)現(xiàn)，其中的橋梁為AC、BD．
證明：①當(dāng)ABCD為任意四邊形時，EFGH為平行四邊形．
∵EH∥AC∥FG，EF∥BD∥GH，
∴四邊形EFGH為平行四邊形．
證②：若ABCD為矩形，則EFGH為菱形．
∵EH∥AC∥FG，EF∥BD∥GH．
∴四邊形EACH，ACGF，EFBD，BDHG，EFGH均為平行四邊形．
∴EH=AC=FG，EF=BD=GH．
∵四邊形ABCD為矩形．
∴AC=BD．
∴EH=AC=FG=EF=BD=GH．
∴四邊形EFGH為菱形．
③若ABCD為菱形，則EFGH為矩形．
（3）當(dāng)平行四邊形EFGH是矩形時，四邊形ABCD必須滿足：對角線互相垂直．
當(dāng)平行四邊形EFGH是菱形時，四邊形ABCD必須滿足：對角線相等．

點評：本題考查了平行四邊形、菱形、矩形、正方形的判定．