Question

如圖1，在正方形ABOC中，BD平分∠OBC，交OA于點D．
（1）若正方形ABOC的邊長為2，對角線BC與OA相交于點E．則：
①BC的長為______

Answer 1

【答案】分析：（1）①根據正方形的性質即可求得對角線BC的長；②BD平分∠OBC，經計算可知△ABD為等腰三角形，所以可知道AD長度，即可求得DE長度；③經計算可知線段OB、BC、DE的長的關系為；
（2）猜想線段OB、B₁C₁、DE的長的關系為，利用相似三角形即可證明；
（3）根據（2）中條件求出點D和點的B₁坐標，代入即可求出直線B₁D的解析式．
解答：解：（1）①；（1分）
②；（3分）
③線段OB、BC、DE的長的關系為（5分）
注：只要符合三條線段長度關系的式子都對．

（2）猜想線段OB、B₁C₁、DE的長的關系為．（6分）
證明如下：過點D作DF⊥OB于F．
∵∠BAC=∠B₁AC₁=90°，
∴∠B₁AB=∠C₁AC．
又∵AB=AC，∠B₁BA=∠C₁CA=90°，
∴△B₁BA≌△C₁CA（ASA），（7分）
∴B₁A=C₁A，
∴AB₁=B₁C₁．
∵∠B₁DA=∠AOB+∠OB₁D=45°+∠OB₁D，
∠DB₁A=∠DB₁C₁+∠AB₁C₁=45°+∠DB₁C₁，
∵∠OB₁D=∠DB₁C₁，
∴∠B₁DA=∠DB₁A，
∴AD=AB₁=B₁C₁（8分）
∴OD=DF=DE且AO=OB，
∴AD+OD=OB，
∴B₁C₁+DE=OB，
∴OB=B₁C₁+DE．

（3）∵B₁E=6，C₁E=4，
∴B₁C₁=10．
由（2）得OB=5+DE=5+DF，（10分）
∴BF=5．
∵B₁F=B₁E=6，
∴B₁B=1，AB₁=5，
∴AB=OB==7，
∴DE=2．
∴D的坐標為（2，2），B₁的坐標為（0，8），（11分）
∴直線B₁D的解析式y(tǒng)=-3x+8．（12分）
點評：本題主要考查對于一次函數的綜合應用以及相似三角形的掌握．