Question

（2013•安溪縣質(zhì)檢）已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按圖（a）擺放，點(diǎn)C與點(diǎn)E重合，點(diǎn)B、C（E）、F在同一條直線(xiàn)上，∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8厘米，BC=6厘米，EF=9厘米．如圖（b），△DEF從圖（a）的位置出發(fā)，以1厘米/秒的速度沿CB向△ABC勻速移動(dòng)，點(diǎn)P同時(shí)從點(diǎn)B出發(fā)，以2厘米/秒的速度沿BA向點(diǎn)A勻速移動(dòng)．當(dāng)△DEF的頂點(diǎn)D移動(dòng)到AC邊上時(shí)移動(dòng)即停止．記DE與AC相交于點(diǎn)Q，連接PQ，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t（秒）（0＜t＜4.5）．求：
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)A在線(xiàn)段PQ的垂直平分線(xiàn)上；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△APQ與△ABC相似；
（3）當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)P、Q、F在同一直線(xiàn)上．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)辄c(diǎn)A在線(xiàn)段PQ垂直平分線(xiàn)上，所以得到線(xiàn)段相等，可得CE=CQ，用含t的式子表示出這兩個(gè)線(xiàn)段即可得解；
（2）需要分類(lèi)討論：△APQ∽△ABC和△APQ∽△ACB兩種情況，由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例列出相應(yīng)的比例式，把相關(guān)線(xiàn)段的長(zhǎng)度代入，易求t的值；
（3）過(guò)P作PN⊥AC于N，構(gòu)建相似三角形：△PAN∽△BAC，則相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即

PN

BC

=

AP

AB

=

AN

AC

，所以易得NQ=AQ-AN=8-t-（8-

8

5

t）=

3

5

t．連結(jié)QF，當(dāng)點(diǎn)P、Q、F在同一直線(xiàn)上時(shí)，△QCF∽△QNP，則

PN

FC

=

NQ

CQ

，即

6- 6 5 t

9-t

=

3 5 t

t

，由此可以求得t的值．

解答：解：（1）依題意，得EC=QC=t．
∴BE=6-t，AQ=8-t，AB=

BC2+AC2

=10．
∵BP=2t，
∴AP=10-2t．
當(dāng)點(diǎn)A在線(xiàn)段PQ的垂直平分線(xiàn)上時(shí)，AP=AQ，
∴10-2t=8-t，解得t=2，
即當(dāng)t=2時(shí)，點(diǎn)A在線(xiàn)段PQ的垂直平分線(xiàn)上；

（2）∵∠ACB=90°，
∴當(dāng)∠AQP=90°即△APQ∽△ABC時(shí)，

AQ

AP

=

AC

AB

，∴

8-t

10-2t

=

4

5

，解得t=0（舍去）；
當(dāng)∠APQ=90°即△APQ∽△ACB時(shí)，

AP

AQ

=

AC

AB

，∴

10-2t

8-t

=

4

5

，解得t=3，
∴當(dāng)t=3時(shí)，△APQ與△ABC相似；

（3）假設(shè)存在某一時(shí)刻t，使點(diǎn)P、Q、F三點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上；
過(guò)P作PN⊥AC于N，∴△PAN∽△BAC，
∴

PN

BC

=

AP

AB

=

AN

AC

，即

PN

6

=

10-2t

10

=

AN

8

，
∴PN=6-

6

5

t，AN=8-

8

5

t，
∴NQ=AQ-AN=8-t-（8-

8

5

t）=

3

5

t．
∵點(diǎn)P、Q、F在同一直線(xiàn)上，
∴△QCF∽△QNP，
∴

PN

FC

=

NQ

CQ

，
∴

6- 6 5 t

9-t

=

3 5 t

t

，
解得t=1
∴當(dāng)t=1時(shí)，P、Q、F三點(diǎn)在同一直線(xiàn)上．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、二次函數(shù)的最值、特殊圖形的面積的求法等知識(shí)，圖形較復(fù)雜，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的能力，綜合性強(qiáng)，難度較大．