Question

如圖，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（8，0）、（0，6），點(diǎn)P以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度由點(diǎn)B出發(fā)沿BA方向向點(diǎn)A作勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q以每秒a個(gè)單位長(zhǎng)度由A出發(fā)沿AO（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）方向向點(diǎn)O作勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，連接PQ．設(shè)時(shí)間為t（0＜t＜5）秒．
（1）當(dāng)a=1時(shí)．
①當(dāng)t為何值時(shí)，PQ∥BO？
②設(shè)△AQP的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值．
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，以點(diǎn)O、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△OAB相似，求a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題

專(zhuān)題：綜合題

分析：（1）①如圖①所示，當(dāng)PQ∥BO時(shí)，利用平分線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理，列線(xiàn)段比例式

AP

AB

=

AQ

AO

，求出t的值；
②過(guò)點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，則PD∥BO，易得△APD∽△ABO，利用對(duì)應(yīng)邊成比例表示出PD的長(zhǎng)度，繼而可得S關(guān)于t的表達(dá)式，利用配方法求最值即可．
（2）若△OPQ與△AOB相似，由題意可知：0°＜∠POQ＜90°，需要分三種情況討論，①當(dāng)∠POQ=∠OAB且∠PQO=90°時(shí)，②當(dāng)∠POQ=∠OAB且∠OPQ=90°時(shí)，③當(dāng)∠PAQ=∠ABO且∠PQO=90°時(shí)，分別利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，表示出BP、AQ，從而得出a的值．

解答：解：（1）∵A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（8，0）、（0，6），
∴OB=6，OA=8，
在Rt△OAB中，AB=

OA2+OB2

=

62+82

=10，
如圖①，當(dāng)PQ∥BO時(shí)，AQ=t，BP=2t，則AP=10-2t．
∵PQ∥BO，
∴

AP

AB

=

AQ

AO

，即

10-2t

10

=

t

8

，
解得：t=

40

13

，
∴當(dāng)t=

40

13

秒時(shí)，PQ∥BO．
如圖②所示，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，則PD∥BO，
∴△APD∽△ABO，
∴

AP

AB

=

PD

OB

，即

10-2t

10

=

PD

6

，
解得：PD=6-

6

5

t，
∴S=

1

2

AQ×PD=

1

2

t（6-

6

5

t）=-

3

5

t²+3t=-

3

5

（t-

5

2

）+

15

4

（0＜t＜5），
∴當(dāng)t=

5

2

時(shí)，S取得最大值，最大值為

15

4

．

（2）若△OPQ與△AOB相似，由題意可知：0°＜∠POQ＜90°，

①當(dāng)∠POQ=∠OAB且∠PQO=90°時(shí)（如圖③），△OPQ∽△ABO，
∴PQ垂直平分OA，
∴OQ=AQ=4，
∴AP=OP=5，BP=AB-AP=5，
∴10-2t=5，at=4，
∴a=

8

5

；
②當(dāng)∠POQ=∠OAB且∠OPQ=90°時(shí)（如圖③），△OPQ∽△AOB，
∴OQ=

5

4

OP=

25

4

，at=8-

25

4

=

7

4

，
又∵t=

5

2

，
∴a=

7

10

；
③當(dāng)∠PAQ=∠ABO且∠PQO=90°時(shí)（如圖④），△OPQ∽△BAO，
此時(shí)OP⊥AB，
∴OP=

4

5

OB=

24

5

，BP=

3

5

OB=

18

5

，
∴t=

9

5

，at=8-

3

5

OP=

128

25

，
∴a=

128

45

，
綜上可得：a的值為

8

5

或

7

10

或

128

45

時(shí)，以點(diǎn)O、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△OAB相似．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似形的綜合，是典型的動(dòng)點(diǎn)型問(wèn)題，解題過(guò)程中，綜合利用了平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理（或相似三角形的判定與性質(zhì)）、勾股定理、二次函數(shù)求極值，難點(diǎn)在第（2）問(wèn)，很容易漏解，同學(xué)們注意分類(lèi)討論思想的運(yùn)用．