Question

【題目】如圖，E為圓O上的一點，C為劣弧EB的中點．CD切于點C，交的直徑AB的延長線于點D．延長線段AE和線段BC，使之交于點F．

（1）求證：和都是等腰三角形；

（3）若，，求EF的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

（1）如圖（見解析），連接OC，先根據圓周角定理可得，再根據圓周角定理、圓心角定理可得，，然后根據三角形全等的判定定理與性質可得，，最后根據等量代換、等腰三角形的判定即可得證；

（2）如圖（見解析），連接OC、BE，先根據圓的切線的性質和勾股定理求出圓O的半徑，從而可得，再根據圓周角定理、角的和差可得，然后根據相似三角形的判定與性質可得，從而可得，最后根據線段的和差即可得．

（1）如圖，連接OC

∵AB是圓O的直徑

∴

∵C為劣弧EB的中點

∴，

在和中，

∴

∴，

是等腰三角形

∴

∴是等腰三角形；

（2）如圖，連接OC、BE

設圓O的半徑為，則，

是圓O的切線

，即

在中，，即

解得

，，

由圓周角定理得：，

由（1）可知，

，即

在和中，

，即

解得

則．