Question

如圖，E為?ABCD的邊BC延長線上一點，AE與BD交于點F，與DC交于點G．
（1）寫出所有與△ABE相似的三角形，并選擇其中一對相似三角形加以證明；
（2）若BC=2CE，求

DF

FB

的值．
（3）若BC=k•CE，求

AF

FG

的值．

Answer 1

分析：（1）由四邊形ABCD是平行四邊形，可得AB∥CD，AD∥BC，平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似，即可得△ABE∽△GCE∽△GDA；
（2）易證得△ADF∽△EBF，根據(jù)相似三角形的對應邊成比例可得

DF

FB

=

AD

BE

，又由BC=2CE，即可求得

DF

FB

的值；
（3）易證得△ECG∽△EBA，△ABF∽△GDF，根據(jù)相似三角形的對應邊成比例可得：

CG

AB

=

CE

BE

，

AF

FG

=

AB

DG

，又由BC=k•CE，即可求得

AF

FG

的值．

解答：解：（1）△ABE∽△GCE∽△GDA；
證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴△ABE∽△GCE，△GCE∽△GDA，
∴△ABE∽△GCE∽△GDA；

（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴△ADF∽△EBF，
∴

DF

FB

=

AD

BE

，
∵BC=2CE，
∴AD：BE=2：3，
∴

DF

FB

=

2

3

；

（3）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，AB∥CD，AD∥BC，
∴△ECG∽△EBA，△ABF∽△GDF，
∴

CG

AB

=

CE

BE

，

AF

FG

=

AB

DG

，
∵BC=k•CE，
∴

CG

AB

=

CE

BE

=

1

k+1

，
∴

CG

DG

=

1

k

，
∴

DG

AB

=

k

k+1

，
∴

AF

FG

=

k+1

k

．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)．此題難度較大，注意掌握數(shù)形結合思想的應用，注意掌握平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似與相似三角形的對應邊成比例定理的應用．