Question

課題學(xué)習(xí)：
（1）如圖1，E、F、G、H分別是正方形ABCD各邊的中點(diǎn)，則四邊形EFGH是

正方

形，正方形ABCD的面積記為S₁，EFGH的面積為S₂，則S₁和S₂間的數(shù)量關(guān)系：

S₁=2S₂

；
（2）如圖2，E、F、G、H分別是菱形ABCD各邊的中點(diǎn)，則四邊形EFGH是

矩

形，菱形ABCD的面積為S₁，EFGH的面積為S₂，則S₁和S₂間的數(shù)量關(guān)系：

S₁=2S₂

；
（3）如圖3，梯形ABCD中，AD∥BC，對(duì)角線AC⊥BD，垂足為O，E、F、G、H分別為各邊的中點(diǎn)．四邊形EFGH是

矩

形；若梯形ABCD的面積記為S₁，四邊形EFGH的面積記為S₂，由圖可猜想S₁和S₂間的數(shù)量關(guān)系為：

S₁=2S₂

；
（4）如圖4，E、G分別是平行四邊形ABCD的邊AB、DC的中點(diǎn)，H、F分別是邊形AD、BC上的點(diǎn)，且四邊形EFGH為平行四邊形，若把平行四邊形ABCD的面積記為S₁，把平行四邊形形EFGH的面積記為S₂，試猜想S₁和S₂間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．

Answer 1

分析：（1）連接AC、BD．先根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)得出EH∥BD∥FG，EF∥AC∥HG，EH=FG=

1

2

BD，EF=HG=

1

2

AC，則四邊形EFGH為平行四邊形，再由正方形的對(duì)角線相等且互相垂直，得出EF=FG，EF⊥FG，從而證明?EFGH是正方形；利用相似多邊形的面積比等于相似比的平方可求得S₁=2S₂；
（2）連接AC、BD．先根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)得出EH∥BD∥FG，EF∥AC∥HG，EH=FG=

1

2

BD，EF=HG=

1

2

AC，則四邊形EFGH為平行四邊形，再由菱形的對(duì)角線互相垂直，得出EF⊥FG，從而證明?EFGH是矩形；利用相似三角形的面積比等于相似比的平方可求得S₁=2S₂；
（3）先根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)得出EH∥BD∥FG，EF∥AC∥HG，EH=FG=

1

2

BD，EF=HG=

1

2

AC，則四邊形EFGH為平行四邊形，再由AC⊥BD，得出EF⊥FG，從而證明?EFGH是矩形；利用相似多邊形的面積比等于相似比的平方可求得S₁=2S₂；
（4）過點(diǎn)H作HM⊥AB于M，延長MH交CD于N，先由垂線的唯一性得出MN為平行四邊形ABCD的邊AB、DC上的高，再根據(jù)三角形的面積公式得出S_△AEH+S_△DHG=

1

4

AB•MN=

1

4

S_?ABCD，同理得出S_△BEF+S_△CFG=

1

4

AB•PQ=

1

4

S_?ABCD，進(jìn)而求出S_?EFGH=

1

2

S_?ABCD，即S₁=2S₂．

解答：解：（1）如圖1．連接AC、BD．
∵E、F、G、H分別是正方形ABCD各邊的中點(diǎn)，
∴EH∥BD∥FG，EF∥AC∥HG，EH=FG=

1

2

BD，EF=HG=

1

2

AC，
∴四邊形EFGH為平行四邊形，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AC=BD，AC⊥BD，
∴EF=FG，EF⊥FG，
∴?EFGH是正方形；
∵正方形ABCD∽正方形EFGH，
∴S₁：S₂=（AB：EF）²=（2BE：

2

BE）²=（2：

2

）²=2，
∴S₁=2S₂；

（2）如圖2．連接AC、BD．
∵E、F、G、H分別是菱形ABCD各邊的中點(diǎn)，
∴EH∥BD∥FG，EF∥AC∥HG，EH=FG=

1

2

BD，EF=HG=

1

2

AC，
∴四邊形EFGH為平行四邊形，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴EF⊥FG，
∴?EFGH是矩形；
在△ABD中，∵EH∥BD，
∴△AEH∽△ABD，
∵EH=

1

2

BD，
∴S_△AEH：S_△ABD=（EH：BD）²=

1

4

，即S_△AEH=

1

4

S_△ABD，
同理可證：S_△CFG=

1

4

S_△CBD，
∴S_△AEH+S_△CFG=

1

4

（S_△ABD+S_△CBD）=

1

4

S_菱形ABCD．
同理可得S_△BEF+S_△DHG=

1

4

（S_△ABC+S_△CDA）=

1

4

S_菱形ABCD，
∴S_△AEH+S_△CFG+S_△BEF+S_△DHG=

1

2

S_菱形ABCD，
∴S_矩形EFGH=S_菱形ABCD-（S_△AEH+S_△CFG+S_△BEF+S_△DHG）=

1

2

S_菱形ABCD，
∴S₁=2S₂；

（3）如題目圖3．∵E、F、G、H分別是梯形ABCD各邊的中點(diǎn)，
∴EH∥BD∥FG，EF∥AC∥HG，EH=FG=

1

2

BD，EF=HG=

1

2

AC，
∴四邊形EFGH為平行四邊形，
∵AC⊥BD，
∴EF⊥FG，
∴?EFGH是矩形；
在△ABD中，∵EH∥BD，
∴△AEH∽△ABD，
∵EH=

1

2

BD，
∴S_△AEH：S_△ABD=（EH：BD）²=

1

4

，即S_△AEH=

1

4

S_△ABD，
同理可證：S_△CFG=

1

4

S_△CBD，
∴S_△AEH+S_△CFG=

1

4

（S_△ABD+S_△CBD）=

1

4

S_梯形ABCD．
同理可得S_△BEF+S_△DHG=

1

4

（S_△ABC+S_△CDA）=

1

4

S_梯形ABCD，
∴S_△AEH+S_△CFG+S_△BEF+S_△DHG=

1

2

S_梯形ABCD，
∴S_矩形EFGH=S_梯形ABCD-（S_△AEH+S_△CFG+S_△BEF+S_△DHG）=

1

2

S_梯形ABCD，
∴S₁=2S₂；

（4）S₁=2S₂．理由如下：
如圖4．過點(diǎn)H作HM⊥AB于M，延長MH交CD于N．
∵AB∥CD，HM⊥AB，
∴HM⊥CD，即MN⊥CD，則MN為平行四邊形ABCD的邊AB、DC上的高．
∵E、G分別是平行四邊形ABCD的邊AB、DC的中點(diǎn)，
∴AE=BE=CG=GD=

1

2

AB=

1

2

CD．
∵S_△AEH=

1

2

AE•HM=

1

4

AB•HM，S_△DHG=

1

2

GD•HN=

1

4

CD•HN，
∴S_△AEH+S_△DHG=

1

4

AB•HM+

1

4

CD•HN=

1

4

AB（HM+HN）=

1

4

AB•MN=

1

4

S_?ABCD．
同理可得S_△BEF+S_△CFG=

1

4

AB•FQ+

1

4

CD•FP=

1

4

AB（FQ+FP）=

1

4

AB•PQ=

1

4

S_?ABCD，
∴S_△AEH+S_△CFG+S_△BEF+S_△DHG=

1

2

S_?ABCD，
∴S_?EFGH=S_?ABCD-（S_△AEH+S_△CFG+S_△BEF+S_△DHG）=

1

2

S_?ABCD，
∴S₁=2S₂．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形中位線的性質(zhì)，特殊四邊形的判定和性質(zhì)，相似多邊形的性質(zhì)，多邊形的面積，綜合性較強(qiáng)，有一定難度．