在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點A(6,0),點B(0,6),動點C在以半徑為3的⊙O上,連接OC,過O點作OD⊥OC,OD與⊙O相交于點D(其中點C、O、D按逆時針方向排列),連接AB.
(1)當(dāng)OC∥AB時,∠BOC的度數(shù)為 45°或135° ;
(2)連接AC,BC,當(dāng)點C在⊙O上運動到什么位置時,△ABC的面積最大?并求出△ABC的面積的最大值.
(3)連接AD,當(dāng)OC∥AD時,
①求出點C的坐標(biāo);②直線BC是否為⊙O的切線?請作出判斷,并說明理由.
考點:
圓的綜合題.
專題:
綜合題.
分析:
(1)根據(jù)點A和點B坐標(biāo)易得△OAB為等腰直角三角形,則∠OBA=45°,由于OC∥AB,所以當(dāng)C點在y軸左側(cè)時,有∠BOC=∠OBA=45°;當(dāng)C點在y軸右側(cè)時,有∠BOC=180°﹣∠OBA=135°;
(2)由△OAB為等腰直角三角形得AB=OA=6,根據(jù)三角形面積公式得到當(dāng)點C到AB的距離最大時,△ABC的面積最大,過O點作OE⊥AB于E,OE的反向延長線交⊙O于C,
此時C點到AB的距離的最大值為CE的長然后利用等腰直角三角形的性質(zhì)計算出OE,然后計算△ABC的面積;
(3)①過C點作CF⊥x軸于F,易證Rt△OCF∽Rt△AOD,則=,即=,解得CF=,再利用勾股定理計算出OF=,則可得到C點坐標(biāo);
②由于OC=3,OF=,所以∠COF=30°,則可得到∴BOC=60°,∠AOD=60°,然后根據(jù)“SAS”判斷△BOC≌△AOD,所以∠BCO=∠ADC=90°,再根據(jù)切線的判定定理可確定
直線BC為⊙O的切線.
解答:
解:(1)∵點A(6,0),點B(0,6),
∴OA=OB=6,
∴△OAB為等腰直角三角形,
∴∠OBA=45°,
∵OC∥AB,
∴當(dāng)C點在y軸左側(cè)時,∠BOC=∠OBA=45°;當(dāng)C點在y軸右側(cè)時,∠BOC=180°﹣∠OBA=135°;
(2)∵△OAB為等腰直角三角形,
∴AB=OA=6,
∴當(dāng)點C到AB的距離最大時,△ABC的面積最大,
過O點作OE⊥AB于E,OE的反向延長線交⊙O于C,如圖,此時C點到AB的距離的最大值為CE的長,
∵△OAB為等腰直角三角形,
∴AB=OA=6,
∴OE=AB=3,
∴CE=OC+CE=3+3,△ABC的面積=CE•AB=×(3+3)×6=9+18.
∴當(dāng)點C在⊙O上運動到第三象限的角平分線與圓的交點位置時,△ABC的面積最大,最大值為9+18.
(3)①如圖,過C點作CF⊥x軸于F,
∵OC∥AD,
∴∠ADO=∠COD=90°,
∴∠DOA+∠DAO=90°
而∠DOA+∠COF=90°,
∴∠COF=∠DAO,
∴Rt△OCF∽Rt△AOD,
∴=,即=,解得CF=,
在Rt△OCF中,OF==,
∴C點坐標(biāo)為(﹣,);
②直線BC是⊙O的切線.理由如下:
在Rt△OCF中,OC=3,OF=,
∴∠COF=30°,
∴∠OAD=30°,
∴∠BOC=60°,∠AOD=60°,
∵在△BOC和△AOD中
,
∴△BOC≌△AOD(SAS),
∴∠BCO=∠ADC=90°,
∴OC⊥BC,
∴直線BC為⊙O的切線.
點評:
本題考查了圓的綜合題:掌握切線的判定定理、平行線的性質(zhì)和等腰直角三角形的判定與性質(zhì);熟練運用勾股定理和相似比進(jìn)行幾何計算.
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