Question

小明在課間用橡皮筋將兩支規(guī)格相同的鉛筆垂直放置在桌面上（如圖）．小明發(fā)現(xiàn)：當(dāng)鉛筆左右平行移動(dòng)時(shí)，橡皮筋的交點(diǎn)到桌面的距離保持不變．于是該班數(shù)學(xué)興趣小組進(jìn)行了如下探究：

（1）如圖①，若四邊形ABCD是矩形，對(duì)角線AC、BD交點(diǎn)為P，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥BC于點(diǎn)Q，連結(jié)DQ交AC于點(diǎn)P₁，過(guò)點(diǎn)P₁作P₁Q₁⊥BC于點(diǎn)Q₁，已知AB=CD=a，則PQ=

 

，P₁Q₁=

 

．（用含a的代數(shù)式表示）
（2）如圖②，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AC、BD交于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥BC于點(diǎn)Q．已知AB=a，CD=b，請(qǐng)用含a、b的代數(shù)式表示線段PQ的長(zhǎng)，寫(xiě)出你的解題過(guò)程．
（3）如圖③，在直角坐標(biāo)系xOy中，梯形ABCD的腰BC在x軸正半軸上（點(diǎn)B與原點(diǎn)O重合），AB∥CD，∠ABC=60°，AC、BD交于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作PQ∥CD交BC于點(diǎn)Q，連結(jié)AQ交BD于點(diǎn)P₁，過(guò)點(diǎn)P₁作P₁Q₁∥CD交BC于點(diǎn)Q₁．連結(jié)AQ₁交BD于點(diǎn)P₂，過(guò)點(diǎn)P₂作P₂Q₂∥CD交BC于點(diǎn)Q₂，…，已知AB=a，CD=b，則點(diǎn)P₁的縱坐標(biāo)為

 

點(diǎn)P_n的縱坐標(biāo)為

 

（直接用含a、b、n的代數(shù)式表示）

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）根據(jù)矩形的對(duì)角線互相平分且相等可得BP=PD，再根據(jù)在同一平面內(nèi)，垂直于同一直線的兩直線互相平行可得PQ∥CD，然后根據(jù)平行線分線段成比例定理列式求解即可得到PQ，同理求出P₁Q₁∥CD，然后求出

QP1

P1D

的值，再求出

QP1

QD

的值，然后根據(jù)平行線分線段成比例定理可得

P1Q1

CD

=

QP1

QD

，再代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可求出P₁Q₁；
（2）先根據(jù)AB∥CD求出

BP

PD

，然后求出

BP

BD

，再根據(jù)在同一平面內(nèi)，垂直于同一直線的兩直線互相平行可得PQ∥CD，然后根據(jù)平行線分線段成比例定理可得

PQ

CD

=

BP

BD

，代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可得解；
（3）根據(jù)（2）的結(jié)論依次表示出PQ、P₁Q₁、P₂Q₂…P_nQ_n，再根據(jù)兩直線平行，同位角相等求出∠PQC=∠P₁Q₁C=∠P₂Q₂C=…∠P_nQ_nC=∠ABC=60°，然后利用60°角的正弦值列式計(jì)算即可得解．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴BP=PD，
∵PQ⊥BC，
∴PQ∥CD，
∴

PQ

CD

=

BP

BD

=

1

2

，
∴PQ=

1

2

CD=

1

2

a，
∵P₁Q₁⊥BC，
∴P₁Q₁∥CD，
∴

QP1

P1D

=

PQ

CD

=

1

2

，
∴

QP1

QD

=

1

1+2

=

1

3

，
又∵

P1Q1

CD

=

QP1

QD

，
∴P₁Q₁=

1

3

a；

（2）∵AB∥CD，
∴

BP

PD

=

AB

CD

=

a

b

，
∴

BP

BD

=

a

a+b

，
∵AB∥CD，∠ABC=90°，PQ⊥BC，
∴PQ∥CD，
∴

PQ

CD

=

BP

BD

=

a

a+b

，
∴PQ=

a

a+b

•CD=

ab

a+b

；

（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，PQ=

ab

a+b

，
P₁Q₁=

a• ab a+b

a+ ab a+b

=

ab

a+2b

，
P₂Q₂=

a• ab a+2b

a+ ab a+2b

=

ab

a+3b

，
P₃Q₃=

a• ab a+3b

a+ ab a+3b

=

ab

a+4b

，
…，
依此類推，P_nQ_n=

ab

a+(n+1)b

，
∵AB∥CD，PQ∥CD，P₁Q₁∥CD，P₂Q₂∥CD，…，
∴AB∥PQ∥P₁Q₁∥P₂Q₂∥…∥P_nQ_n∥CD，
∴∠PQC=∠P₁Q₁C=∠P₂Q₂C=…∠P_nQ_nC=∠ABC=60°，
∴點(diǎn)P₁的縱坐標(biāo)為：P₁Q₁•sin60°=

ab

a+2b

×

3

2

=

3 ab

2a+4b

，
點(diǎn)P_n的縱坐標(biāo)為為P_nQ_n•sin60°=

ab

a+(n+1)b

×

3

2

=

3 ab

2a+2(n+1)b

．
故答案為：（1）

1

2

a，

1

3

a；（2）

ab

a+b

；（3）

3 ab

2a+4b

，

3 ab

2a+2(n+1)b

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似形綜合題，主要利用了矩形的對(duì)角線互相平分且相等的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，銳角三角函數(shù)，難度較大，規(guī)律性較強(qiáng)，求出PQ并發(fā)現(xiàn)利用好規(guī)律，表示出相應(yīng)的線段是解題的關(guān)鍵．