小明在課間用橡皮筋將兩支規(guī)格相同的鉛筆垂直放置在桌面上（如圖）．小明發(fā)現(xiàn)：當(dāng)鉛筆左右平行移動時，橡皮筋的交點到桌面的距離保持不變．于是該班數(shù)學(xué)興趣小組進行了如下探究：

（1）如圖①，若四邊形ABCD是矩形，對角線AC、BD交點為P，過點P作PQ⊥BC于點Q，連結(jié)DQ交AC于點P1，過點P1作P1Q1⊥BC于點Q1，已知AB=CD=a，則PQ=
 
，P1Q1=
 
．（用含a的代數(shù)式表示）
（2）如圖②，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AC、BD交于點P，過點P作PQ⊥BC于點Q．已知AB=a，CD=b，請用含a、b的代數(shù)式表示線段PQ的長，寫出你的解題過程．
（3）如圖③，在直角坐標(biāo)系xOy中，梯形ABCD的腰BC在x軸正半軸上（點B與原點O重合），AB∥CD，∠ABC=60°，AC、BD交于點P，過點P作PQ∥CD交BC于點Q，連結(jié)AQ交BD于點P1，過點P1作P1Q1∥CD交BC于點Q1．連結(jié)AQ1交BD于點P2，過點P2作P2Q2∥CD交BC于點Q2，…，已知AB=a，CD=b，則點P1的縱坐標(biāo)為
 
點Pn的縱坐標(biāo)為
 
（直接用含a、b、n的代數(shù)式表示）
考點：相似形綜合題
專題：壓軸題
分析：（1）根據(jù)矩形的對角線互相平分且相等可得BP=PD，再根據(jù)在同一平面內(nèi)，垂直于同一直線的兩直線互相平行可得PQ∥CD，然后根據(jù)平行線分線段成比例定理列式求解即可得到PQ，同理求出P1Q1∥CD，然后求出
QP1
P1D
的值，再求出
QP1
QD
的值，然后根據(jù)平行線分線段成比例定理可得
P1Q1
CD
=
QP1
QD
，再代入數(shù)據(jù)進行計算即可求出P1Q1；
（2）先根據(jù)AB∥CD求出
BP
PD
，然后求出
BP
BD
，再根據(jù)在同一平面內(nèi)，垂直于同一直線的兩直線互相平行可得PQ∥CD，然后根據(jù)平行線分線段成比例定理可得
PQ
CD
=
BP
BD
，代入數(shù)據(jù)進行計算即可得解；
（3）根據(jù)（2）的結(jié)論依次表示出PQ、P1Q1、P2Q2…PnQn，再根據(jù)兩直線平行，同位角相等求出∠PQC=∠P1Q1C=∠P2Q2C=…∠PnQnC=∠ABC=60°，然后利用60°角的正弦值列式計算即可得解．
解答：解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴BP=PD，
∵PQ⊥BC，
∴PQ∥CD，
∴
PQ
CD
=
BP
BD
=
1
2
，
∴PQ=
1
2
CD=
1
2
a，
∵P1Q1⊥BC，
∴P1Q1∥CD，
∴
QP1
P1D
=
PQ
CD
=
1
2
，
∴
QP1
QD
=
1
1+2
=
1
3
，
又∵
P1Q1
CD
=
QP1
QD
，
∴P1Q1=
1
3
a；

（2）∵AB∥CD，
∴
BP
PD
=
AB
CD
=
a
b
，
∴
BP
BD
=
a
a+b
，
∵AB∥CD，∠ABC=90°，PQ⊥BC，
∴PQ∥CD，
∴
PQ
CD
=
BP
BD
=
a
a+b
，
∴PQ=
a
a+b
•CD=
ab
a+b
；

（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，PQ=
ab
a+b
，
P1Q1=
a•
ab
a+b
a+
ab
a+b
=
ab
a+2b
，
P2Q2=
a•
ab
a+2b
a+
ab
a+2b
=
ab
a+3b
，
P3Q3=
a•
ab
a+3b
a+
ab
a+3b
=
ab
a+4b
，
…，
依此類推，PnQn=
ab
a+(n+1)b
，
∵AB∥CD，PQ∥CD，P1Q1∥CD，P2Q2∥CD，…，
∴AB∥PQ∥P1Q1∥P2Q2∥…∥PnQn∥CD，
∴∠PQC=∠P1Q1C=∠P2Q2C=…∠PnQnC=∠ABC=60°，
∴點P1的縱坐標(biāo)為：P1Q1•sin60°=
ab
a+2b
×
3
2
=
3
ab
2a+4b
，
點Pn的縱坐標(biāo)為為PnQn•sin60°=
ab
a+(n+1)b
×
3
2
=
3
ab
2a+2(n+1)b
．
故答案為：（1）
1
2
a，
1
3
a；（2）
ab
a+b
；（3）
3
ab
2a+4b
，
3
ab
2a+2(n+1)b
．
點評：本題考查了相似形綜合題，主要利用了矩形的對角線互相平分且相等的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，銳角三角函數(shù)，難度較大，規(guī)律性較強，求出PQ并發(fā)現(xiàn)利用好規(guī)律，表示出相應(yīng)的線段是解題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

關(guān)于x，y的方程組
x-y=3
ax+5y=4
與
3x+2y=-1
5x+by=1
有相同的解，那么代數(shù)式a-7b的值是
 
．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

化簡：
1
2
x+2(x-
1
3
x2)+(-
3
2
x+
1
3
y2)．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，以直角頂點C為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABC旋轉(zhuǎn)到△EFC的位置，其中E、F分別是A、B的對應(yīng)點，且點B在斜邊EF上，直角邊EC交AB于點D，則∠ECA=
 
°．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

育才學(xué)校為方便學(xué)生中午在校就餐，與某飲食服務(wù)公司聯(lián)系，為學(xué)生供應(yīng)價格不等的6種盒飯，如圖所示是某一天銷售情況的頻數(shù)分布直方圖．
單價（元） 2 3 4 5 6 7
成本（元） 1.8 2.4 3 3.8 4.2 4.5
請根據(jù)直方圖回答下列問題：
（1）這一天飲食服務(wù)公司在育才學(xué)校共銷售多少盒飯？
（2）如果每個學(xué)生都只購了一份，求這一天學(xué)生購買盒飯時付飯費的平均數(shù)和中位數(shù)；
（3）若飲食服務(wù)公司加工各種盒飯的成本如下表所示，這一天銷售中，飲食服務(wù)公司共贏利多少元？

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某雞場調(diào)查了30只同一品種的雛雞的體重如下（單位：kg）：
1.5  1.6  1.4  1.7  1.1  1.6  1.8  1.3
1.4  1.2  1.5  1.6  1.6  1.4  1.7  1.4
1.6  1.5  1.4  1.5  1.5  1.7  1.6  1.4
1.9  1.7  1.5  1.5  1.5  1.6
若要根據(jù)這些體重設(shè)計頻數(shù)分布表，要求分為5段，則應(yīng)將體重按
 
的距離分段，起點數(shù)可取為
 
，每段的范圍分別為
 
．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

下面是一組同學(xué)的跳遠成績（單位：cm）
455  425  438  402  398  435  395  438
382  390  460  388  412  420  430  442
454  428  396  435  438  428  415  441
418  426
根據(jù)這些成績設(shè)計頻數(shù)分布表，下列分段合適的是（　　）
A、381～401  401～421  421～441  441～461
B、381.5～401.5  401.5～421.5  421.5～441.5  441.5～461.5
C、318.5～402.5  402.5～422.5  422.5～442.5  442.5～462.5
D、382～402  402～422  422～442  442～462

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

問題：已知線段AB、CD相交于點O，AB=CD．連接AD、BC，請?zhí)砑右粋�條件，使得△AOD≌△COB．
小明的做法及思路：
小明添加了條件：∠DAB=∠BCD．他的思路是：
分兩種情況畫圖①、圖②，在兩幅圖中，
都作直線DA、BC，兩直線交于點E．
由∠DAB=∠BCD，可得∠EAB=∠ECD．
∵AB=CD，∠E=∠E，
∴△EAB≌△ECD．
∴EB=ED，EA=EC．
圖①中ED-EA=EB-EC，即AD=CB．
圖②中EA-ED=EC-EB，即AD=CB．
又∵∠DAB=∠BCD，∠AOD=∠COB，
∴△AOD≌△COB．
數(shù)學(xué)老師的觀點：
（1）數(shù)學(xué)老師說：小明添加的條件是錯誤的，請你給出解釋．
你的想法：
（2）請你重新添加一個滿足問題要求的條件，并說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點A（1，0）和B（x1，0）．頂點為P．
（1）若點P的坐標(biāo)為（-1，-4），求此拋物線的解析式；
（2）若點P的坐標(biāo)為（-1，k），k＜0，點Q是y軸上的一個動點，當(dāng)QB+QP的最小值為5時，求此拋物線的解析式和點Q的坐標(biāo)．

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同步練習(xí)冊答案