Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5．點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)沿CA以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)A后立刻以原來(lái)的速度沿AC返回；點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)沿AB以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)．伴隨著P、Q的運(yùn)動(dòng)，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于點(diǎn)D，交折線QB-BC-CP于點(diǎn)E．點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)B時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P也隨之停止．設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒（t＞0）．
（1）當(dāng)t=2時(shí)，AP=

 

，點(diǎn)Q到AC的距離是

 

；
（2）在點(diǎn)P從C向A運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，求△APQ的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式；（不必寫出t的取值范圍）
（3）在點(diǎn)E從B向C運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，四邊形QBED能否成為直角梯形？若能，求t的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（4）當(dāng)DE經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，請(qǐng)直接寫出t的值．

Answer 1

分析：（1）先求PC，再求AP，然后求AQ，再由三角形相似求Q到AC的距離；
（2）作QF⊥AC于點(diǎn)F，先求BC，再用t表示QF，然后得出S的函數(shù)解析式；
（3）當(dāng)DE∥QB時(shí)，得四邊形QBED是直角梯形，由△APQ∽△ABC，由線段的對(duì)應(yīng)比例關(guān)系求得t，由PQ∥BC，四邊形QBED是直角梯形，△AQP∽△ABC，由線段的對(duì)應(yīng)比例關(guān)系求t；
（4）①第一種情況點(diǎn)P由C向A運(yùn)動(dòng)，DE經(jīng)過(guò)點(diǎn)C、連接QC，作QG⊥BC于點(diǎn)G，由PC²=QC²解得t；
②第二種情況，點(diǎn)P由A向C運(yùn)動(dòng)，DE經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，由圖列出相互關(guān)系，求解t．

解答：解：（1）做QF⊥AC，
∵AC=3，點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)沿CA以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，
∴當(dāng)t=2時(shí)，AP=3-2=1；
∵QF⊥AC，BC⊥AC，
∴QF∥BC，
∴△ACB∽△AFQ，
∴

AQ

AB

=

QF

BC

，
∴

2

5

=

QF

4

，
解得：QF=

8

5

；
故答案為：1，

8

5

；

（2）作QF⊥AC于點(diǎn)F，
如圖1，AQ=CP=t，
∴AP=3-t．
由△AQF∽△ABC，BC=

52-32

=4，
得

QF

4

=

t

5

．
∴QF=

4

5

t．
∴S=

1

2

（3-t）•

4

5

t，
即S=-

2

5

t2+

6

5

t；

（3）能．
①當(dāng)由△APQ∽△ABC，DE∥QB時(shí)，如圖2．
∵DE⊥PQ，
∴PQ⊥QB，四邊形QBED是直角梯形，
此時(shí)∠AQP=90°．
由△APQ∽△ABC，得

AQ

AC

=

AP

AB

，
即

t

3

=

3-t

5

．解得t=

9

8

；
②如圖3，當(dāng)PQ∥BC時(shí)，DE⊥BC，四邊形QBED是直角梯形．
此時(shí)∠APQ=90°．
由△AQP∽△ABC，得

AQ

AB

=

AP

AC

，
即

t

5

=

3-t

3

．
解得t=

15

8

，
綜上：在點(diǎn)E從B向C運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，當(dāng)t=

15

8

或

9

8

時(shí)，四邊形QBED能成為直角梯形；

（4）t=

5

2

或t=

45

14

．
注：①點(diǎn)P由C向A運(yùn)動(dòng)，DE經(jīng)過(guò)點(diǎn)C．
連接QC，作QG⊥BC于點(diǎn)G，如圖4．
∵sinB=

AC

AB

=

3

5

=

QG

BQ

，
∴QG=

3

5

（5-t），
同理BG=

4

5

（5-t），
∴CG=4-

4

5

（5-t），
∴PC=t，QC²=QG²+CG²=[

3

5

（5-t）]²+[4-

4

5

（5-t）]²．
∵CD是PQ的中垂線，
∴PC=QC
則PC²=QC²，
得t²=[

3

5

（5-t）]²+[4-

4

5

（5-t）]²，
解得t=

5

2

；
②點(diǎn)P由A向C運(yùn)動(dòng)，DE經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，如圖5．
PC=6-t，可知由PC²=QC²可知，
QC²=QG²+CG²=（6-t）²=[

3

5

（5-t）]²+[4-

4

5

（5-t）]²，
即t=

45

14

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定定理，線段比的有關(guān)知識(shí)，利用二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)以及實(shí)際應(yīng)用相結(jié)合，同時(shí)考生要注意巧妙利用輔助線的幫助解答，難度較大．