Question

（2010•攀枝花）如圖所示，在△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=90°，直角∠EPF的頂點P是BC的中點，兩邊PE，PF分別交AB，AC于點E，F(xiàn)，給出以下四個結(jié)論：①BE=AF，②S_△EPF的最小值為，③tan∠PEF=，④S_{四邊形AEPF}=1，當(dāng)∠EPF在△ABC內(nèi)繞頂點P旋轉(zhuǎn)時（點E不與A，B重合），上述結(jié)論始終正確是    ．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)全等三角形的判定和等腰三角形的性質(zhì)，對題中選項一一證明，得出正確結(jié)果．
解答：解：連接PA．
∵AB=AC，∠BAC=90°，P是BC的中點，
∴PA=PC，∠APC=90°，∠PAE=∠PCF=45°．
∵∠FPE=∠APC=90°，
∴∠CPF=∠APE．
∵PA=PC，∠PAE=∠PCF，
∴△CFP≌△AEP．
∴AE=CF．
∵AB-AE=AC-CF，
∴BE=AF，故①始終正確；
∵△CFP≌△AEP，
∴PE=PF．
∵∠EPF=90°，
∴△EPF為等腰直角三角形．
∴∠PEF=45°．
∴tan∠PEF=1，故③錯誤；
∵PA=BP，∠B=∠PAF，BE=AF，
∴△EBP≌△PAF．
∵S_△EBP+S_△AEP+S_△PAF+S_△CFP=S_△ABC，S_△AEP+S_△PAF=S_{四邊形AEPF}
∴S_{四邊形AEPF}=S_△ABC=（2×2÷2）=1，故④正確；
∴S_△EPF的最小值為，故②正確．
故選①②④．
點評：本題把全等三角形的判定和等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合求解．綜合性強，難度較大．考查學(xué)生綜合運用數(shù)學(xué)知識的能力．