Question

如圖1，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)為C（1，4），交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)D，其中點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0）．

（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖2，過點(diǎn)A的直線與拋物線交于點(diǎn)E，交y軸于點(diǎn)F，其中點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為2，若直線PQ為拋物線的對稱軸，點(diǎn)G為直線PQ上的一動點(diǎn)，則x軸上師范存在一點(diǎn)H，使D、G、H、F四點(diǎn)所圍成的四邊形周長最��？若存在，求出這個最小值及點(diǎn)G、H的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用待定系數(shù)即可求得函數(shù)的解析式；
（2）在y軸的負(fù)半軸上取一點(diǎn)I，使得點(diǎn)F與點(diǎn)I關(guān)于x軸對稱，在x軸上取一點(diǎn)H，連接HF、HI、HG、GD、GE，則HF=HI，
只要使DG+GH+HI最小即可 DG+GH+HF=EG+GH+HI，只有當(dāng)EI為一條直線時(shí)，EG+GH+HI最小，求得直線EI的解析式，即可求解．
解答：解：（1）設(shè)所求拋物線的解析式為：y=a（x-1）²+4，將點(diǎn)B（3，0）代入，得：a（3-1）²+4=0解得：a=-1∴解析式為：y=-（x-1）²+4
（2）如圖，在y軸的負(fù)半軸上取一點(diǎn)I，使得點(diǎn)F與點(diǎn)I關(guān)于x軸對稱，
在x軸上取一點(diǎn)H，連接HF、HI、HG、GD、GE，則HF=HI，點(diǎn)E坐標(biāo)為（2，3）
∴點(diǎn)A（-1，0），點(diǎn)B（3，0），點(diǎn)D（0，3）
又∵拋物線的對稱軸為：直線x=1．
∴點(diǎn)D與點(diǎn)E關(guān)于PQ對稱，GD=GE  過A、E兩點(diǎn)的一次函數(shù)解析式為：y=x+1
∴當(dāng)x=0時(shí)，y=1
∴點(diǎn)F坐標(biāo)為（0，1）
∴DF=2
又∵點(diǎn)F與點(diǎn)I關(guān)于x軸對稱，∴點(diǎn)I坐標(biāo)為（0，-1）
∴EI===2，
又∵要使四邊形DFHG的周長最小，由于DF是一個定值，
∴只要使DG+GH+HI最小即可 DG+GH+HF=EG+GH+HI
只有當(dāng)EI為一條直線時(shí)，EG+GH+HI最小，過E（2，3）、I（0，-1）
解析式為：y=2x-1
∴當(dāng)x=1時(shí)，y=1；當(dāng)y=0時(shí)，x=；
∴點(diǎn)G坐標(biāo)為（1，1），點(diǎn)H坐標(biāo)為（，0）
∴四邊形DFHG的周長最小為：DF+DG+GH+HF=DF+EI=2+2．
點(diǎn)評：本題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象交點(diǎn)的求法等知識點(diǎn)．主要考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．