Question

（2012•朝陽區(qū)一模）如圖，在正方形ABCD中，AB=1，E、F分別是BC、CD邊上的點(diǎn)，
（1）若CE=

1

2

CB，CF=

1

2

CD，則圖中陰影部分的面積是

2

3

；
（2）若CE=

1

n

CB，CF=

1

n

CD，則圖中陰影部分的面積是

n

n+1

（用含n的式子表示，n是正整數(shù)）．

Answer 1

分析：（1）首先設(shè)BF與DE交于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MN⊥CD于N，由四邊形ABCD是正方形，易證得△DMN∽△DEC，△FMN∽△FBC，由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例可得

DN

DC

=

MN

EC

，

MN

BC

=

FN

FC

，又由CE=

1

2

CB，CF=

1

2

CD，設(shè)MN=x，F(xiàn)N=y，即可得

1 2 +y

x

=2，

x

y

=2，繼而求得MN的長(zhǎng)，則可求得△BCF和△DMF的面積，繼而求得圖中陰影部分的面積；
（2）首先設(shè)BF與DE交于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MN⊥CD于N，由四邊形ABCD是正方形，易證得△DMN∽△DEC，△FMN∽△FBC，由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例可得

DN

DC

=

MN

EC

，

MN

BC

=

FN

FC

，又由CE=

1

n

CB，CF=

1

n

CD，設(shè)MN=x，F(xiàn)N=y，即可得

1- 1 n +y

x

=n，

x

y

=n，繼而求得MN的長(zhǎng)，則可求得△BCF和△DMF的面積，繼而求得圖中陰影部分的面積．

解答：解：（1）設(shè)BF與DE交于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MN⊥CD于N，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠C=90°，AD∥BC，BC=CD=AB=1，
∴AD∥MN∥BC，
∴△DMN∽△DEC，△FMN∽△FBC，
∴

DN

DC

=

MN

EC

，

MN

BC

=

FN

FC

，
∵CE=

1

2

CB=

1

2

，CF=

1

2

CD=

1

2

，
∴CE=

1

2

CD，CF=

1

2

BC，
∴

DN

MN

=

DC

EC

=2，

MN

FN

=

BC

FC

=2，
設(shè)MN=x，F(xiàn)N=y，
∴

1 2 +y

x

=2，

x

y

=2，
解得：x=

1

3

，
∴MN=

1

3

，
∴S_△BCF=

1

2

BC•CF=

1

2

×1×

1

2

=

1

4

，S_△DFM=

1

2

DF•MN=

1

2

×

1

2

×

1

3

=

1

12

，S_{正方形ABCD}=1，
∴S_陰影=1-

1

4

-

1

12

=

2

3

；

（2）設(shè)BF與DE交于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MN⊥CD于N，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠C=90°，AD∥BC，BC=CD=AB=1，
∴AD∥MN∥BC，
∴△DMN∽△DEC，△FMN∽△FBC，
∴

DN

DC

=

MN

EC

，

MN

BC

=

FN

FC

，
∵CE=

1

n

CB=

1

n

，CF=

1

n

CD=

1

n

，
∴CE=

1

n

CD，CF=

1

n

BC，
∴

DN

MN

=

DC

EC

=n，

MN

FN

=

BC

FC

=n，
設(shè)MN=x，F(xiàn)N=y，
∴

1- 1 n +y

x

=n，

x

y

=n，
解得：x=

1

n+1

，
∴MN=

1

n+1

，
∴S_△BCF=

1

2

BC•CF=

1

2

×1×

1

n

=

1

2n

，S_△DFM=

1

2

DF•MN=

1

2

×（1-

1

n

）×

1

n+1

=

n-1

2n(n+1)

，S_{正方形ABCD}=1，
∴S_陰影=1-

1

2n

-

n-1

2n(n+1)

=

n

n+1

．
故答案為：

2

3

，

n

n+1

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及三角形面積問題．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法是解此題的關(guān)鍵，注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．