Question

如圖，ABCD為平行四邊形，AD=a，BE∥AC，DE交AC的延長線于F點，交BE于E點．

（1）求證：DF=FE；

（2）若AC=2CF，，AC⊥DC，求BE的長；

（3）在（2）的條件下，求四邊形ABED的面積．

Answer 1

(1)證明：延長DC交BE于點M，∵BE∥AC，AB∥DC,∴四邊形ABMC是平行四邊形，

∴CM=AB=DC,C為DM的中點，BE∥AC，DF=FE;

（2）解：由（2）得CF是△DME的中位線，

故ME=2CF,又∵AC=2CF，四邊形ABMC是平行四邊形，

∴BE=2BM=2ME=2AC, 又∵AC⊥DC,

∴在Rt△ADC中利用勾股定理得AC=, ∴=.

(3)可將四邊形ABED的面積分為兩部分，梯形ABMD和三角形DME,

在Rt△ADC中利用勾股定理得DC=,

由CF是△DME的中位線得CM=DC=,

四邊形ABMC是平行四邊形得AM=MC=,BM=AC=,

∴梯形ABMD面積為：;

由AC⊥DC和BE∥AC可證得三角形DME是直角三角形，

其面積為：,∴四邊形ABED的面積為+