Question

（2013•北京）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l：y=-x-1，雙曲線y=

1

x

，在l上取一點(diǎn)A₁，過A₁作x軸的垂線交雙曲線于點(diǎn)B₁，過B₁作y軸的垂線交l于點(diǎn)A₂，請(qǐng)繼續(xù)操作并探究：過A₂作x軸的垂線交雙曲線于點(diǎn)B₂，過B₂作y軸的垂線交l于點(diǎn)A₃，…，這樣依次得到l上的點(diǎn)A₁，A₂，A₃，…，A_n，…記點(diǎn)A_n的橫坐標(biāo)為a_n，若a₁=2，則a₂=

-

3

2

，a₂₀₁₃=

-

1

3

；若要將上述操作無限次地進(jìn)行下去，則a₁不可能取的值是

0、-1

．

Answer 1

分析：求出a₂，a₃，a₄，a₅的值，可發(fā)現(xiàn)規(guī)律，繼而得出a₂₀₁₃的值，根據(jù)題意可得A₁不能在x軸上，也不能在y軸上，從而可得出a₁不可能取的值．

解答：解：當(dāng)a₁=2時(shí)，B₁的縱坐標(biāo)為

1

2

，
B₁的縱坐標(biāo)和A₂的縱坐標(biāo)相同，則A₂的橫坐標(biāo)為a₂=-

3

2

，
A₂的橫坐標(biāo)和B₂的橫坐標(biāo)相同，則B₂的縱坐標(biāo)為b₂=-

2

3

，
B₂的縱坐標(biāo)和A₃的縱坐標(biāo)相同，則A₃的橫坐標(biāo)為a₃=-

1

3

，
A₃的橫坐標(biāo)和B₃的橫坐標(biāo)相同，則B₃的縱坐標(biāo)為b₃=-3，
B₃的縱坐標(biāo)和A₄的縱坐標(biāo)相同，則A₄的橫坐標(biāo)為a₄=2，
A₄的橫坐標(biāo)和B₄的橫坐標(biāo)相同，則B₄的縱坐標(biāo)為b₄=

1

2

，
即當(dāng)a₁=2時(shí)，a₂=-

3

2

，a₃=-

1

3

，a₄=2，a₅=-

3

2

，
b₁=

1

2

，b₂=-

2

3

，b₃=-3，b₄=

1

2

，b₅=-

2

3

，
∵

2013

3

=671，
∴a₂₀₁₃=a₃=-

1

3

；
點(diǎn)A₁不能在y軸上（此時(shí)找不到B₁），即x≠0，
點(diǎn)A₁不能在x軸上（此時(shí)A₂，在y軸上，找不到B₂），即y=-x-1≠0，
解得：x≠-1；
綜上可得a₁不可取0、-1．
故答案為：-

3

2

、-

1

3

；0、-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)的綜合，涉及了點(diǎn)的規(guī)律變化，解答此類題目一定要先計(jì)算出前面幾個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，由特殊到一般進(jìn)行規(guī)律的總結(jié)，難度較大．