Question

【知識探究】
如圖1，已知AD∥BC，AD=BC，點M、N是直線CD上任意兩點，則直線AB與直線CD的位置關(guān)系為

 

，S_△ABM

 

S_△ABN（填“＞”、“=”或“＜”）；
【結(jié)論應(yīng)用】
如圖2，線段AB的端點A、B分別在反比例函數(shù)y=

k

x

位于一、三象限的分支上，AB交y軸與點E，過點A作AC⊥x軸，垂足為C，過C點作直線MN∥AB與反比例圖象交于M、N兩點，且與y軸交于點D，連接BC、BD，若S_△ABC=5，S_△BDE=3，求k的值；
【拓展延伸】
如圖3，拋物線y=ax²+bx+c的頂點為C（1，4），與x軸交于點A（3，0），與y軸交與點D．在第一象限的拋物線（0＜x＜3）上是否存在一點M，使△AMD面積最大？若存在，求出M點坐標(biāo)和△AMD最大面積．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：【知識探究】：根據(jù)題意判定四邊形ABCD是平行四邊形，則AB∥CD．所以△ABM和△ABN中，AB邊上的高相等，則兩個三角形是同底等高的三角形，所以它們的面積相等；
【結(jié)論應(yīng)用】：利用“同底等高的兩個三角形的面積相等”推知S_△BCE=S_△BDE=3，則S_△ACE=S_△ABC-S_△BCE=5-3=2，最后由反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義求得S△ACE=S△AOC=

1

2

k=2，即k=4；
【拓展延伸】設(shè)拋物線為y=a（x-1）²+4，把A（3，0）代入得a=-1，則y=-（x-1）²+4=-x²+2x+3．所以D（0，3）．根據(jù)點A、D的坐標(biāo)求得直線AD為y=-x+3．故設(shè)過M點且與直線AD平行的直線EF為y=-x+t，交x、y軸分別交于點E、F，根據(jù)拋物線與直線的交點坐標(biāo)的求法可以求得t=

21

4

，所以M(

3

2

，

15

4

)，
過D作DG⊥EF于G，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求得DG=

2

2

DF=

2

2

×

9

4

=

9 2

8

．則S_{△AMD最大值}=

1

2

×3

2

×

9 2

8

=

27

8

．

解答：解：【知識探究】如圖1，∵AD∥BC，AD=BC，
∴四邊形ABCD為平行四邊形；
∴AB∥CD；
∴S_△ABM=S_△ABN（同底等高的兩個三角形的面積相等）．
故答案是：AB∥CD；S_△ABM=S_△ABN；

【結(jié)論應(yīng)用】如圖2，連接CE、AO．
∵AB∥MN，
∴S_△BCE=S_△BDE=3，
∵S_△ACE=S_△ABC-S_△BCE=5-3=2，AC⊥x軸，
∴S△ACE=S△AOC=

1

2

k=2，
∴k=4；

【拓展延伸】設(shè)拋物線為y=a（x-1）²+4，把A（3，0）代入得a=-1，
∴y=-（x-1）²+4，即y=-x²+2x+3，
∴D（0，3），
∴易求直線AD為y=-x+3．
設(shè)過M點且與直線AD平行的直線EF為y=-x+t，交x、y軸分別交于點E、F．
則由

y=-x+t y=-x2+2x+3

得x²-3x+t-3=0，
把點D的坐標(biāo)代入，得
（-3）²-4（t-3）=0，
解得t=

21

4

，M(

3

2

，

15

4

)，
∴AM=

( 3 2 -3)2+( 15 4 )2

=3

2

．
如圖3，過D作DG⊥EF于G，DG=

2

2

DF=

2

2

×

9

4

=

9 2

8

∴S_{△AMD最大值}=

1

2

×3

2

×

9 2

8

=

27

8

．

點評：此題主要考查了平行線的性質(zhì)、三角形面積的求法、二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象交點坐標(biāo)的求法等知識；能力要求高，難度較大．