Question

如圖，已知拋物線的頂點(diǎn)為M（5，6），且經(jīng)過點(diǎn)C（-1，0）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設(shè)拋物線與y軸交于點(diǎn)A，過A作AB∥x軸，交拋物線于另一點(diǎn)B，則拋物線上存在點(diǎn)P，使△ABP的面積等于△ABO的面積，請求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）將拋物線向右平移，使拋物線經(jīng)過點(diǎn)（5，0），請直接答出曲線段CM（拋物線圖象的一部分，如圖中的粗線所示）在平移過程中所掃過的面積．

Answer 1

解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-5）²+6
將C（-1，0）代入，
得0=a（-1-5）²+6，
解得
∴所求拋物線的解析式為；

（2）∵當(dāng)x=0時(shí)，y=，
∴OA=
∵AB∥x軸，
∴OA⊥AB
∵S_△ABO=S_△ABP
∴點(diǎn)P到AB的距離為
∴設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為或（x，0）
將代入，
解得
將（x，0）代入，
解得x₃=-1，x₄=11
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為、、（-1，0）、（11，0）；

（3）∵曲線段CM在平移過程中所掃過的面積可看作為底為6，高為6的平行四邊形的面積，
∴所掃過的面積為36．
分析：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-5）²+6，將C（-1，0）代入，利用待定系數(shù)法可得，則所求拋物線的解析式為；
（2）先根據(jù)函數(shù)解析式求得OA=，結(jié)合AB∥x軸，OA⊥AB的性質(zhì)可知點(diǎn)P到AB的距離為，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為或（x，0），①將代入，解得
②將（x，0）代入，解得x₃=-1，x₄=11，綜合可知點(diǎn)P的坐標(biāo)為、、（-1，0）、（11，0）．
（3）曲線段CM在平移過程中所掃過的面積可看作為底為6，高為6的平行四邊形的面積，故為36．
點(diǎn)評：本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，其中涉及到的知識點(diǎn)有待定系數(shù)法求函數(shù)解析式和二次函數(shù)和方程之間的關(guān)系以及利用數(shù)形結(jié)合的方法求算幾何圖形的面積等．要熟練掌握才能靈活運(yùn)用．