Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC，E在AC上，經過A，B，E三點的圓O交BC于點D，且D點是弧BE的中點，

（1）求證AB是圓的直徑；

（2）若AB＝8，∠C＝60°，求陰影部分的面積；

（3）當∠A為銳角時，試說明∠A與∠CBE的關系．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）證明見解析.

【解析】

（1）連接AD，根據等腰三角形的三線合一得到AD⊥BC，根據圓周角定理的推論證明；
（2）連接OE，根據扇形面積公式計算即可．

（3）AB是直徑，根據直徑所對的圓周角是直角得到∠BEA=90°，∠EBC+∠C=∠CAD+∠C=90° ，根據同角的余角相等得到∠EBC=∠CAD，即可得到∠A與∠CBE的關系.

（1）連結AD，

∵D是弧BE中點,

∴∠BAD=∠CAD-

又∵AB=AC,

∴AD⊥BD

∴∠ADB=90°,

∴AB是直徑.

(2)連結OE，S扇形AOE= ,

S△BOE=，

S陰影=+

（3）由（1）AB是直徑，

∴∠BEA=90°

∴∠EBC+∠C=∠CAD+∠C=90° ，

∴∠EBC=∠CAD

∴∠CAB=2∠EBC