Question

如圖，Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠ABC的角平分線BE和∠BAC的外角平分線AD相交于點(diǎn)P，分別交AC和BC的延長(zhǎng)線于E，D．過(guò)P作PF⊥AD交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接AF交DH于點(diǎn)G．則下列結(jié)論：①∠APB=45°；②PF=PA；③BD-AH=AB；④DG=AP+GH．其中正確的是（　　）

A．①②③

B．①②④

C．②③④

D．①②③④

Answer 1

分析：①根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和與角平分線的定義表示出∠CAP，再根據(jù)角平分線的定義∠ABP=

1

2

∠ABC，然后利用三角形的內(nèi)角和定理整理即可得解；
②③先根據(jù)直角的關(guān)系求出∠AHP=∠FDP，然后利用角角邊證明△AHP與△FDP全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得DF=AH，對(duì)應(yīng)角相等可得∠PFD=∠HAP，然后利用平角的關(guān)系求出∠BAP=∠BFP，再利用角角邊證明△ABP與△FBP全等，然后根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得到AB=BF，從而得解；
④根據(jù)PF⊥AD，∠ACB=90°，可得AG⊥DH，然后求出∠ADG=∠DAG=45°，再根據(jù)等角對(duì)等邊可得DG=AG，再根據(jù)等腰直角三角形兩腰相等可得GH=GF，然后求出DG=GH+AF，有直角三角形斜邊大于直角邊，AF＞AP，從而得出本小題錯(cuò)誤．

解答：解：①∵∠ABC的角平分線BE和∠BAC的外角平分線，
∴∠ABP=

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∠ABC，
∠CAP=

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（90°+∠ABC）=45°+

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2

∠ABC，
在△ABP中，∠APB=180°-∠BAP-∠ABP，
=180°-（45°+

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2

∠ABC+90°-∠ABC）-

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2

∠ABC，
=180°-45°-

1

2

∠ABC-90°+∠ABC-

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2

∠ABC，
=45°，故本小題正確；
②③∵∠ACB=90°，PF⊥AD，
∴∠FDP+∠HAP=90°，∠AHP+∠HAP=90°，
∴∠AHP=∠FDP，
∵PF⊥AD，
∴∠APH=∠FPD=90°，
在△AHP與△FDP中，

∠AHP=∠FDP ∠APH=∠FPD=90° AP=PF

，
∴△AHP≌△FDP（AAS），
∴DF=AH，
∵AD為∠BAC的外角平分線，∠PFD=∠HAP，
∴∠PAE+∠BAP=180°，
又∵∠PFD+∠BFP=180°，
∴∠PAE=∠PFD，
∵∠ABC的角平分線，
∴∠ABP=∠FBP，
在△ABP與△FBP中，

∠PAE=∠PFD ∠ABP=∠FBP PB=PB

，
∴△ABP≌△FBP（AAS），
∴AB=BF，AP=PF故②小題正確；
∵BD=DF+BF，
∴BD=AH+AB，
∴BD-AH=AB，故③小題正確；
④∵PF⊥AD，∠ACB=90°，
∴AG⊥DH，
∵AP=PF，PF⊥AD，
∴∠PAF=45°，
∴∠ADG=∠DAG=45°，
∴DG=AG，
∵∠PAF=45°，AG⊥DH，
∴△ADG與△FGH都是等腰直角三角形，
∴DG=AG，GH=GF，
∴DG=GH+AF，
∵AF＞AP，
∴DG=AP+GH不成立，故本小題錯(cuò)誤，
綜上所述①②③正確．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定，以及等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，等角對(duì)等邊，等邊對(duì)等角的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，難度較大，做題時(shí)要分清角的關(guān)系與邊的關(guān)系．