Question

在△ABC中，∠BAC=90°，AB＜AC，M是BC邊的中點，過點M作MP⊥MQ交AB于點P，交NC于點Q，試求BP²，PQ²，CQ²三者之間的數(shù)量關系，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：作輔助線延長QM至點D，使MD=MQ．連接PD、BD構建平行四邊形BDCQ．根據(jù)平行四邊形的對邊平行且相等推知BD∥CQ，BD=CQ；然后在直角三角形BPD中利用勾股定理求得PD²=BP²+BD²=BP²+CQ²；最后利用線段垂直平分線的性質(zhì)知PQ=PD，所以由等量代換證得該結論．
解答：解：PQ²=BP²+CQ²．
證明：延長QM至點D，使MD=MQ，連接PD、BD，BQ，CD，

∵BC、DQ互相平分，
∴四邊形BDCQ為平行四邊形，
∴BD∥CQ，BD=CQ（平行四邊形的對邊平行且相等）；
又∵∠BAC=90°，
∴∠PBD=90°，
∴PD²=BP²+BD²=BP²+CQ²，
∵PM垂直平分DQ，
∴PQ=PD，
∴PQ²=BP²+CQ²．
點評：本題考查了勾股定理的知識，注意構造直角三角形，本題也可以延長PM至N，使MN=PM，連QN、CN，這也是可行的一種解題思路．