Question

（2012•瀘州）如圖，n個邊長為1的相鄰正方形的一邊均在同一直線上，點M₁，M₂，M₃，…M_n分別為邊B₁B₂，B₂B₃，B₃B₄，…，B_nB_n+1的中點，△B₁C₁M₁的面積為S₁，△B₂C₂M₂的面積為S₂，…△B_nC_nM_n的面積為S_n，則S_n=

1

4(2n-1)

．（用含n的式子表示） 

Answer 1

分析：由n個邊長為1的相鄰正方形的一邊均在同一直線上，點M₁，M₂，M₃，…M_n分別為邊B₁B₂，B₂B₃，B₃B₄，…，B_nB_n+1的中點，即可求得△B₁C₁M_n的面積，又由B_nC_n∥B₁C₁，即可得△B_nC_nM_n∽△B₁C₁M_n，然后利用相似三角形的面積比等于相似比的平方，求得答案．

解答：解：∵n個邊長為1的相鄰正方形的一邊均在同一直線上，點M₁，M₂，M₃，…M_n分別為邊B₁B₂，B₂B₃，B₃B₄，…，B_nB_n+1的中點，
∴S₁=

1

2

×B₁C₁×B₁M₁=

1

2

×1×

1

2

=

1

4

，
S_△B1C1M2=

1

2

×B₁C₁×B₁M₂=

1

2

×1×

3

2

=

3

4

，
S_△B1C1M3=

1

2

×B₁C₁×B₁M₃=

1

2

×1×

5

2

=

5

4

，
S_△B1C1M4=

1

2

×B₁C₁×B₁M₄=

1

2

×1×

7

2

=

7

4

，
S_△B1C1Mn=

1

2

×B₁C₁×B₁M_n=

1

2

×1×

2n-1

2

=

2n-1

4

，
∵B_nC_n∥B₁C₁，
∴△B_nC_nM_n∽△B₁C₁M_n，
∴S_△BnCnMn：S_△B1C1Mn=（

BnMn

B1Mn

）²=（

1 2

2n-1 2

）²，
即S_n：

2n-1

4

=

1

(2n-1)2

，
∴S_n=

1

4(2n-1)

．
故答案為：

1

4(2n-1)

．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及直角三角形面積的公式．此題難度較大，注意掌握相似三角形面積的比等于相似比的平方定理的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵．