Question

已知：如圖1，在Rt△OAC中，AO⊥OC，點(diǎn)B在OC邊上，OB=6，BC=12，∠ABO+∠C=90°．動(dòng)點(diǎn)M和N分別在線段AB和AC邊上．
（l）求證△AOB∽△COA，并求cosC的值；
（2）當(dāng)AM=4時(shí)，△AMN與△ABC相似，求△AMN與△ABC的面積之比；
（3）如圖2，當(dāng)MN∥BC時(shí)，將△AMN沿MN折疊，點(diǎn)A落在四邊形BCNM所在平面的點(diǎn)為點(diǎn)E．設(shè)MN=x，△EMN與四邊形BCNM重疊部分的面積為y，試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)相似三角形的判定得出△AOB∽△COA，進(jìn)而得出AO的長(zhǎng)，即可求出cosC的值；
（2）利用（1）中所求得出AB=BC=12，再利用①∠AMN=∠B時(shí)，（如圖1）△AMN∽△ABC，②當(dāng)∠AMN=∠C時(shí)，（如圖2）△AMN∽△ACB分別求出即可；
（3）首先得出△AMN∽△ABC，①當(dāng)EN與線段AB相交時(shí)，設(shè)EN與AB交于點(diǎn)F（如圖3），②當(dāng)EN與線段AB不相交時(shí)，設(shè)EN于BC交于點(diǎn)G（如圖4），分別求出即可．
解答：解：（1）∵AO⊥OC，
∴∠ABO+∠BAO=90°．
∵∠ABO+∠C=90°，
∴∠BAO=∠C．
∵∠ABO=∠COA，
∴△AOB∽△COA．
∵OB=6，BC=12，
∴6：OA=OA：18．
∴．
∴．
∴．

（2）∵，
∴∠C=30°．
∵，
∴∠ABO=60°，
∴∠BAC=30°．
∴AB=BC=12．
①∠AMN=∠B時(shí)，（如圖1）△AMN∽△ABC．
∵AM=4，
∴．
②當(dāng)∠AMN=∠C時(shí)，（如圖2）△AMN∽△ACB．
∵AM=4，
∴．

（3）可以求得：．
∵M(jìn)N∥BC，
∴△AMN∽△ABC．
∴．
∴．
∴．
①當(dāng)EN與線段AB相交時(shí)，設(shè)EN與AB交于點(diǎn)F（如圖3），
∵M(jìn)N∥BC，
∴∠ANM=∠C=30°．
∴∠ANM=∠BAC．
∴AM=MN=x．
∵將△AMN沿MN折疊，
∴∠ENM=∠ANM=30°．
∴∠AFN=90°．
∴．
∴S_△FMN：S_△AMN=MF：AM．
∴．
∴．
②當(dāng)EN與線段AB不相交時(shí)，設(shè)EN于BC交于點(diǎn)G（如圖4），
∵M(jìn)N∥BC
∴CN：AC=BM：AB．
∴．
∴．
∵△CNG∽△CBA，
∴．
∴．
∴．
∴．
即．
說明：①當(dāng)EN與線段AB相交時(shí)，用計(jì)算MN邊上高的方法求y時(shí)，求出高為，得1分；
當(dāng)EN與線段AB不相交時(shí)，用梯形面積公式求y時(shí)，求出梯形上底為（3x-24），得1分．
②定義域錯(cuò)一個(gè)，不扣分；兩個(gè)全錯(cuò)，扣1分．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)直線EN與線段AB位置關(guān)系進(jìn)行分類討論得出是解題關(guān)鍵．