Question

已知一個矩形紙片OACB，將該紙片放置在平面直角坐標系中，點A（11，0），點B（0，6），點P為BC邊上的動點（點P不與點B、C重合），經過點O、P折疊該紙片，得點B′和折痕OP．設BP=t．

（Ⅰ）如圖①，當∠BOP=30°時，求點P的坐標；

（Ⅱ）如圖②，經過點P再次折疊紙片，使點C落在直線PB′上，得點C′和折痕PQ，若AQ=m，試用含有t的式子表示m；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，當點C′恰好落在邊OA上時，求點P的坐標（直接寫出結果即可）．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）（，6）  （Ⅱ）m=（0＜t＜11）

（Ⅲ）點P的坐標為（，6）或（，6）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）根據題意，∠OBP=90°，OB=6，

在Rt△OBP中，由∠BOP=30°，BP=t，得OP=2t．

∵OP²=OB²+BP²，

即（2t）²=6²+t²，

解得：t₁=2，t₂=﹣2（舍去）．

∴點P的坐標為（，6）．

（Ⅱ）∵△OB′P、△QC′P分別是由△OBP、△QCP折疊得到的，

∴△OB′P≌△OBP，△QC′P≌△QCP，

∴∠OPB′=∠OPB，∠QPC′=∠QPC，

∵∠OPB′+∠OPB+∠QPC′+∠QPC=180°，

∴∠OPB+∠QPC=90°，

∵∠BOP+∠OPB=90°，

∴∠BOP=∠CPQ．

又∵∠OBP=∠C=90°，

∴△OBP∽△PCQ，

∴，

由題意設BP=t，AQ=m，BC=11，AC=6，則PC=11﹣t，CQ=6﹣m．

∴．

∴m=（0＜t＜11）．

（Ⅲ）過點P作PE⊥OA于E，

∴∠PEA=∠QAC′=90°，

∴∠PC′E+∠EPC′=90°，

∵∠PC′E+∠QC′A=90°，

∴∠EPC′=∠QC′A，

∴△PC′E∽△C′QA，

∴，

∵PC′=PC=11﹣t，PE=OB=6，AQ=m，C′Q=CQ=6﹣m，

∴AC′==，

∴，

∴，

∴3（6﹣m）²=（3﹣m）（11﹣t）²，

∵m=，

∴3（﹣t²+t）²=（3﹣t²+t﹣6）（11﹣t）²，

∴t²（11﹣t）²=（﹣t²+t﹣3）（11﹣t）²，

∴t²=﹣t²+t﹣3，

∴3t²﹣22t+36=0，

解得：t₁=，t₂=，

點P的坐標為（，6）或（，6）．

考點：翻折變換（折疊問題）；坐標與圖形性質；全等三角形的判定與性質；勾股定理；相似三角形的判定與性質．

點評：此題考查了折疊的性質、矩形的性質以及相似三角形的判定與性質等知識．此題難度較大，注意掌握折疊前后圖形的對應關系，注意數形結合思想與方程思想的應用．