Question

如圖10-1，已知拋物線y = 與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于
點(diǎn)C，且OB=OC．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2分）
（2）若點(diǎn)P是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A、B重合），分別以AP、BP為一邊，在直線AB的同側(cè)作等邊三角形APM和BPN，求△PMN的最大面積，并寫出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3分）
（3）如圖10-2，若拋物線的對稱軸與x軸交于點(diǎn)D，F(xiàn)是拋物線上位于對稱軸右側(cè)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線FD與y軸交于點(diǎn)E．是否存在點(diǎn)F，使△DOE與△AOC相似？若存在，請求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．（4分）
    

Answer 1

（1）解：令x = 0得，y = 4，∴C（0，4）
∴OB=OC=4，∴B（4，0）…………………………………………1分
代入拋物線表達(dá)式得：
16a–8a + 4 = 0，解得a =
∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為………………………2分
（2）解：過點(diǎn)M作MG⊥x軸于G，過點(diǎn)N作NH⊥x軸于H，

設(shè)P（x，0），△PMN的面積為S，則
PG=，MG=，PH=，NH=
∴S=
=
=
= …………………………3分
=
∵，∴當(dāng)x=1時(shí)，S有最大值是………………4分
∴△PMN的最大面積是，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（1，0）………………5分
（3）解：存在點(diǎn)F，使得△DOE與△AOC相似．有兩種可能情況：
①△DOE∽△AOC；②△DOE∽△COA
由拋物線得：A（–2，0），對稱軸為直線x = 1
∴OA=2，OC=4，OD=1
①若△DOE∽△AOC，則
∴，解得OE=2
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)是（0，2）或（0，–2）
若點(diǎn)E的坐標(biāo)是（0，2），則直線DE為：
解方程組
得：，（不合題意，舍去）
此時(shí)滿足條件的點(diǎn)F₁的坐標(biāo)為（，）……………………6分
若點(diǎn)E的坐標(biāo)是（0，–2），
同理可求得滿足條件的點(diǎn)F₂的坐標(biāo)為（，）…………7分
②若△DOE∽△COA，
同理也可求得滿足條件的點(diǎn)F₃的坐標(biāo)為（，）……………8分
滿足條件的點(diǎn)F₄的坐標(biāo)為（，）………………………………9分
綜上所述，存在滿足條件的點(diǎn)F，點(diǎn)F的坐標(biāo)為：
F₁（，）、F₂（，）、F₃（，
或F₄（，）．解析:
略