Question

如圖，拋物線與y軸突于A點，過點A的直線y＝kx＋l與拋物線交于另一點B，過點B作BC⊥x軸，垂足為點C（3，0）

（1）求直線AB的函數(shù)關(guān)系式；

（2）動點P在線段OC上從原點出發(fā)以每秒一個單位的速度向C移動，過點產(chǎn)作PN⊥x軸，交直線AB于點M，交拋物線于點N，設(shè)點P移動的時間為t秒，MN的長度為s個單位，求s與t的函數(shù)關(guān)系式，并求出線段MN的最大值；

（3）設(shè)在（2）的條件下（不考慮點P與點O，點C重合的情況），連接CM，BN，當(dāng)t為何值時，四邊形BCMN為平行四邊形？問對于所求的t值，平行四邊形BCMN是否菱形？請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2），；（3）當(dāng)時，四邊形BCMN為平行四邊形；當(dāng)時，平行四邊形BCMN為菱形

【解析】

試題分析：（1）把x=3代入即可求得B點的坐標(biāo)，再把點B的坐標(biāo)代入即可求得直線AB的函數(shù)關(guān)系式；

（2）把x=t分別代入到和即可得到點M、N的縱坐標(biāo)，從而可以表示出MN的長，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；

（3）在四邊形BCMN中，由BC∥MN可知當(dāng)BC=MN時，四邊形BCMN即為平行四邊形，即可求得t的值，由勾股定理求得CM的長，再根據(jù)菱形的性質(zhì)求解即可.

（1）把x=3代入，得，

∴B點的坐標(biāo)分別（3，）

把點B的坐標(biāo)代入，得,解得

所以；

（2）把x=t分別代入到和

得到點M、N的縱坐標(biāo)分別為、

∴MN=－（）=

即=－

∴MN_最大＝S_最大＝；

（3）在四邊形BCMN中，∵BC∥MN

∴當(dāng)BC=MN時，四邊形BCMN即為平行四邊形

由，得

即當(dāng)時，四邊形BCMN為平行四邊形 

當(dāng)時，PC=2，PM=，由勾股定理求得CM =

此時BC=CM=，平行四邊形BCMN為菱形；

當(dāng)時，PC=1，PM=2，由勾股定理求得CM=

此時BC≠CM，平行四邊形BCMN不是菱形；

所以，當(dāng)時，平行四邊形BCMN為菱形．

考點：二次函數(shù)的綜合題

點評：此類問題綜合性強(qiáng)，難度較大，在中考中比較常見，一般作為壓軸題，題目比較典型．