Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=x²-（m+1）x+m（m是常數(shù)）與y軸交于點C，與x軸交于A、B兩點（點A在點B左側(cè)），且A、B兩點在原點兩側(cè)．   
（1）求A、B兩點的坐標(biāo)（可用含m的代數(shù)式表示）；
（2）若S_△ABC=6，求拋物線的解析式；
（3）設(shè)拋物線的頂點為D，在（2）的條件下，試判斷△ACD的形狀，并求tan∠ACB的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)x²-（m+1）x+m=0，求出方程的根，即可得出A，B的坐標(biāo)；
（2）利用|AB|=|1-m|=1-m，|OC|=|m|=-m，S_△ABC=6，得出m的值即可得出拋物線的解析式；
（3）利用勾股定理逆定理求出△ACD是直角三角形，再利用∠OAC=∠OCA=45°，得出tan∠ACB的值．
解答：解：（1）令y=0，則x²-（m+1）x+m=0，
∴x₁=m，x₂=1，
∵點A在點B左側(cè)，且A、B兩點在原點兩側(cè)．
∴A（m，0）B（1，0）；

（2）拋物線與y軸交于點C（0，m），
∵A、B兩點在原點兩側(cè)，
∴m＜0，
∴|AB|=|1-m|=1-m，|OC|=|m|=-m，
∵S_△ABC=6，
∴，
∴m=-3，m=4（舍去），
∴拋物線的解析式為y=x²+2x-3；

（3）拋物線的頂點D（-1，-4），
AD=，，，
∴AD²=AC²+CD²，
∴△ACD是直角三角形，
過點B作BE⊥AC于點E，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=45°，
∵AB=4，
∴AE=BE=，，
∴tan∠ACB=．
點評：此題主要考查了一元二次方程的解法以及三角形的面積和勾股定理的應(yīng)用，此題比較典型綜合性較強(qiáng)，注意分析計算要認(rèn)真做到計算的正確率．