Question

（2013•泰州一模）已知一次函數(shù)y₁=2x和二次函數(shù)y₂=x²+1．
（1）求證：函數(shù)y₁、y₂的圖象都經(jīng)過(guò)同一個(gè)定點(diǎn)；
（2）求證：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，對(duì)于任意同一個(gè)x的值，這兩個(gè)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y₁≤y₂總成立；
（3）是否存在拋物線y₃=ax²+bx+c，其圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-5，2），且在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，對(duì)于同一個(gè)x的值，這三個(gè)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y₁≤y₃≤y₂總成立？若存在，求出y₃的解析式；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）令y₁=y₂，得到2x=x²+1，得到其根的判別式等于0即可說(shuō)明兩圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，即經(jīng)過(guò)同一個(gè)定點(diǎn)．
（2）把y₂化成完全平方的形式與y₁進(jìn)行比較即可得出結(jié)論；
（3）由圖可知，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，對(duì)于x的同一個(gè)值，三個(gè)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y₁≤y₃≤y₂均成立，利用c=2-5a，代入（b-2）²-4ac≤0得出a的值，于是可推理出拋物線的解析式．

解答：解：（1）令y₁=y₂，
得：2x=x²+1，
整理得：x²-2x+1=0
∵△=b²-4ac=（-2）²-4=0
∴直線y₁=2x與拋物線y₂=x²+1只有一個(gè)交點(diǎn)，
即：函數(shù)y₁、y₂的圖象都經(jīng)過(guò)同一個(gè)定點(diǎn)；

（2）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，對(duì)于x的同一個(gè)值y₂=x²+1=（x-1）²+2x，y₁=2x，
∵（x-1）²≥0，
∴y₁≤y₂；

（3）由y₁=2x，y₂=x²+1得：
y₂-y₁=x²+1-2x=（x-1）²
即當(dāng)x=1時(shí)，有y₁=y₂=2．
所以（1，2）點(diǎn)為y₁和y₂的交點(diǎn)．
因?yàn)橐獫M足y₁≤y₃≤y₂恒成立，所以y₃圖象必過(guò)（1，2）點(diǎn)．
又因?yàn)閥₃-y₁=ax²+bx+c-2x恒大于等于0，即ax²+（b-2）x+c恒大于等于0，所以二次函數(shù)ax²+（b-2）x+c必定開口向上，
即有a＞0且（b-2）²-4ac≤0，
同樣有y₂-y₃=（1-a）x²-bx+（1-c）恒大于0，
有 1-a＞0 且 b²-4（1-a）（1-c）≤0，
又因?yàn)楹瘮?shù)過(guò)（-5，2）和（1，2）兩點(diǎn)，所以有
25a-5b+c=2 ①
a+b+c=2 ②
①-②得 b=4a，
將b=4a代入②得：c=2-5a，
代入（b-2）²-4ac≤0得，
（4a-2）²-4a（2-5a）=16a²-16a+4-8a+20a²
=36×a²-24a+4=4（3a-1）²≤0
等式成立時(shí) a=

1

3

，
將b=4a，c=2-5a 代入b²-4（1-a）（1-c）≤0，
（4a）²-4（1-a）（1-（2-5a））=36×a²-24a+4=4（3a-1）²≤0
滿足條件a=

1

3

所以y₃的解析式為y₃=

1

3

（x²+4a+1）=

1

3

x2+

4

3

x+

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系、根的判別式、完全平方公式、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)以及用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式的方法，難度較大．