Question

已知：在直角坐標(biāo)系中，直線l₁為y=3x，點(diǎn)P在直線l₁上，經(jīng)過點(diǎn)P和點(diǎn)Q（1，2）的直線為l₂，設(shè)在第一象限內(nèi)直線l₁、直線l₂和x軸圍成的三角形的面積為S，求S的最小值．

Answer 1

分析：由題意，求S的表達(dá)式，首先要求出三角形的點(diǎn)和高，由已知條件聯(lián)立兩直線求出三角形頂點(diǎn)坐標(biāo)，從而求三角形的低和高，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求出最值．

解答：解：∵直線l₁為y=3x，點(diǎn)P在直線l₁上，
設(shè)P（a，3a），Q（1，2），
∴直線l₂的解析式為：y-2=

3a-2

a-1

(x-1)；
令y=0，x=

a

3a-2

，
∴M（

a

3a-2

，0）；
∴在第一象限內(nèi)直線l₁、直線l₂和x軸圍成的三角形的面積為：
S=

1

2

×OM×h=

1

2

×

a

3a-2

×3a=

3a2

2(3a-2)

∴S=

1

6

×

(3a-2)2+4(3a-2)+4

3a-2

=

1

6

【(3a-2)+

4

3a-2

】+

2

3

≥

1

6

×2

(3a-2)× 4 3a-2

+

2

3

=

4

3

；
當(dāng)3a-2=

4

3a-2

時(shí)，即a=

4

3

等號成立．
∴S的最小值為：

4

3

．

點(diǎn)評：此題考查一次函數(shù)的性質(zhì)和不等式的性質(zhì)，將S的表達(dá)式用a表示出來，然后利用不等式放縮求出最小值．