Question

【題目】如圖，在矩形中，點(diǎn)是對(duì)角線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，作分別交于點(diǎn)，于點(diǎn) ．

(1)如圖1，若恰好平分，求證：；

(2)如圖2，若，取的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn) ．

求證：①；②．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）①見(jiàn)解析；②見(jiàn)解析

【解析】

（1）利用∠ECG＝∠BCG，∠CGE＝∠CGB，CG＝CG即可得證；

（2）①過(guò)H作HM∥BE交AC于點(diǎn)M，則CM：ME＝CH：HB，由點(diǎn)H為BC的中點(diǎn)，可轉(zhuǎn)化得到EM＝CM，再利用HM∥BE及即可證得；

②延長(zhǎng)BE交AD于點(diǎn)N，由△APN∽△HPB可得，通過(guò)證明△ABN∽△BCF可得進(jìn)而可轉(zhuǎn)化為．

證明：（1）∵CF平分∠BCA

∴∠ECG＝∠BCG，

∵CF⊥BE，

∴∠CGE＝∠CGB＝90°，

在Rt△CGE和Rt△CGB中，

，

∴△CGE≌△CGB（ASA）；

（2）①如圖，過(guò)H作HM∥BE交AC于點(diǎn)M，

則CM：ME＝CH：HB，

∵點(diǎn)H為BC的中點(diǎn)，

∴CH＝BH，

∴EM＝CM，

∵，

∴，

∴，

∵HM∥BE，

∴，

∴；

②如圖，延長(zhǎng)BE交AD于點(diǎn)N，

∵在矩形ABCD中，AD∥BC，

∴△APN∽△HPB，

∴，

∴，

∵CF⊥BE，

∴，

∵，

∴∠BCF＝∠ABN，

∵∠FBC＝∠NAB，

∴△ABN∽△BCF，

∴，

∴，

∵點(diǎn)H為BC的中點(diǎn)，

∴，

∴，

∴．