Question

【題目】拋物線與直線交于、兩點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)記為．其對(duì)稱(chēng)軸與軸的交點(diǎn)記為；

（1）如圖1，在線段上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)、，且，作軸，分別交拋物線于點(diǎn)、，過(guò)點(diǎn)作另一條直線，當(dāng)取得最大值時(shí)，有一動(dòng)點(diǎn)從出發(fā)沿某條路徑以1個(gè)單位每秒的速度先運(yùn)動(dòng)到直線上的點(diǎn)處，再沿垂直于的方向以1個(gè)單位每秒的速度從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到上點(diǎn)處，最后以個(gè)單位每秒的速度從點(diǎn)回到點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)停止，請(qǐng)求出滿足條件的點(diǎn)坐標(biāo)及動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)總時(shí)間的最小值；

（2）如圖2，連接，將沿射線平移得，當(dāng)恰好落在∠BDO的角平分線上時(shí)，在軸上取一點(diǎn)，再將沿翻折得，連接、，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求出的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1），；（2）B′′或B′′.

【解析】

（1）根據(jù)題意設(shè)，則，，，判定當(dāng)時(shí)，最大，然后利用對(duì)稱(chēng)性即可得解；

（1）設(shè)，則，，

當(dāng)時(shí)，最大

作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，把沿的方向平移個(gè)單位得，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為點(diǎn)，連接．

四邊形是平行四邊形

，

最小最小

，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，交于點(diǎn)

，

，

最小

（2）過(guò)O作OZ⊥BD于Z，過(guò)O′作O′L⊥BD于L，作O′K⊥x軸與K，連接B′B′′，DB′′，如圖所示：

∵

∴D，B（0，-2）

∵∠BOD=∠OZD=90°

∴OZ=，由平移得O′L=OZ=

∵O′恰好落在∠BDO的角平分線上

∴O′K=O′L=

∴△BOD向下平移個(gè)單位得到△B′O′D′，由平移性質(zhì)可知△BOD同時(shí)向左平移個(gè)單位

∴O′，B′

∵將沿翻折得，為等腰三角形，可以分以下幾種情況：

①DB′′=DB′，即R與D重合

∴當(dāng)O′恰好落在∠BDO的角平分線上時(shí)，B′′落在x軸上

∵

∴此時(shí)DB′′=4，OB′′=4-=

∴B′′；

②B′B′′=DB′=4時(shí)，

∵O′B′′=O′B′=OB=2，

∴B′B′′≤4，僅當(dāng)B′、O′、B′′三點(diǎn)共線時(shí)B′B′′=4成立，此時(shí)O′R⊥O′B′，即x軸上不存在符合題意的點(diǎn)R，故B′B′′=DB′不成立；

③B′B′′=DB′′，即點(diǎn)B′′在線段B′D的垂直平分線上，

∵B′，D

∴B′D的中點(diǎn)坐標(biāo)為，直線B′D的解析式為

∴B′D的垂直平分線的解析式為，設(shè)B′′

∵O′B′′=O′B′，B′，O′

∴

解得

∴B′′；

綜上所述，B′′的坐標(biāo)為B′′或B′′.