Question

在△ABC中，AB=AC，點D是射線CB上的一動點（不與點B、C重合），以AD為一邊在AD的右側作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，連接CE．

（1）如圖1，當點D在線段CB上，且∠BAC=90°時，那么∠DCE=

 

度；
（2）設∠BAC=α，∠DCE=β．
①如圖2，當點D在線段CB上，∠BAC≠90°時，請你探究α與β之間的數量關系，并證明你的結論；
②如圖3，當點D在線段CB的延長線上，∠BAC≠90°時，請將圖3補充完整，并直接寫出此時α與β之間的數量關系（不需證明）．
（3）結論：α與β之間的數量關系是

 

．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質

專題：

分析：（1）由∠BAC=90°，AB=AC，就可以得出∠B=∠ACB=45°，由△ABD≌△ACE就可以得出∠B=∠ACE=45°，就可以得出結論；
（2）①由條件可以得出△ABD≌△ACE就可以得出∠B=∠ACE，根據∠B+∠ACB+∠BAC=180°，就可以得出∠ACE+∠ACB+∠BAC=180°，從而得出結論；
②先根據條件畫出圖形，再證明△ABD≌△ACE就可以得出∠ABD=∠ACE，根據等式的性質就可以得出結論．

解答：解：（1）90 度；
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC．
∴∠BAD=∠CAE．
在△ABD和△ACE中

AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE

，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B=∠ACE，
∵∠BAC=90°，
∴∠B+∠ACB=∠ACD+∠ACE=90°，
即∠DCE=90°．
故答案為：90°；
（2）①α+β=180°．
理由：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC．
∴∠BAD=∠CAE．
在△ABD和△ACE中

AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE

，
∴△ABD≌△ACE．
∴∠B=∠ACE．
∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB．
∴∠B+∠ACB=∠DCE=β，
∵α+∠B+∠ACB=180°，
∴α+β=180°；
（3）α=β
理由：如圖，根據條件畫出圖形，
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE．
∴∠BAD=∠CAE．
在△ABD和△ACE中

AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE

，
∴△ABD≌△ACE．
∴∠ABD=∠ACE．
∵∠ABD=∠BAC+∠ACB，∠ACE=∠DCE+∠ACB，
∴∠BAC+∠ACB=∠DCE+∠ACB，
∴∠BAC=∠DCE，
∴α=β．
故答案為：α=β．

點評：本題主要考查全等三角形的判定與性質的知識點，解答本題的關鍵是熟練掌握判定兩個三角形全等的一般方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角．