Question

【題目】如圖，在矩形中，，，點，分別在邊，上，，連接，．動點在上從點向終點勻速運動，同時，動點在射線．上從點沿方向勻速運動，當點運動到EF的中點時，點恰好與點重合，點到達終點時，， 同時停止運動．

（1）求的長．

（2）設，，求關于的函數(shù)表達式，并寫出自變的取值范圍．

（3）連接，當與的一邊平行時，求的長．

Answer 1

【答案】（1）；（2）（）；（3）的值為或12

【解析】

（1）由矩形的性質可得：∠B＝90°，在Rt△BEF中，根據勾股定理即可求出EF的長；

（2）已知，，根據“當點運動到EF的中點時，點恰好與點重合”，即可求出關于的函數(shù)表達式；

（3）如圖3-1和3-2中，延長交的延長線于，根據相似三角形的判定定理可證得，根據相似三角形對應邊成比例可得EH，CH的長，然后分三種情況討論：①，②，③，排除掉不存在的情況，繼而根據相似三角形對應邊成比例即可求解．

(1)∵四邊形是矩形，

∴，，，

∵，

∴，

∴．

（2）由題意得：，

即．

∴（）．

（3）如圖，延長交的延長線于．

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠B＝∠ECD＝∠ECH＝90°，

又∵∠BEF＝∠CEH，

∴，

∴，

∴，

∴,，

①如圖3-1，當時，△HMN∽△HFD，

∴，即，

解得，

②當時，這種情形不存在．

③如圖3-2中，當時，△HED∽△HMN，

∴，即，

∵，解得，

綜上所述，滿足條件的的值為或12．