如圖，拋物線(xiàn)y1=a(x-m)2與y2關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，頂點(diǎn)分別為B、A，y1與y軸的交點(diǎn)為C．若由A，B，C組成的三角形中，tan∠ABC=2．求：
（1）a與m滿(mǎn)足的關(guān)系式；
（2）如圖，動(dòng)點(diǎn)Q、M分別在y1和y2上，N、P在x軸上，構(gòu)成矩形MNPQ，當(dāng)a為1時(shí)，請(qǐng)問(wèn)：
①Q(mào)點(diǎn)坐標(biāo)是多少時(shí)，矩形MNPQ的周長(zhǎng)最短？
②若E為MQ與y軸的交點(diǎn)，是否存在這樣的矩形，使得△CEQ與△QPB相似？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
分析：（1）根據(jù)拋物線(xiàn)解析式求出頂點(diǎn)B的坐標(biāo)，再根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)性求出y2的解析式，然后求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后根據(jù)tan∠ABC=2列式整理即可得解；
（2）①先根據(jù)a=1求出m的值，得到兩拋物線(xiàn)的解析式，然后根據(jù)拋物線(xiàn)y1的解析式設(shè)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，再根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)以及矩形的周長(zhǎng)公式列式整理得到矩形MNPQ的周長(zhǎng)表達(dá)式，然后根據(jù)二次函數(shù)的最值問(wèn)題解答；
②根據(jù)點(diǎn)Q的坐標(biāo)分別表示出CE、QE，PQ、PB，然后分（i）CE和PQ是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式進(jìn)行計(jì)算即可得解；（ii）CE與PB是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式進(jìn)行計(jì)算即可得解．
解答：解：（1）y1=a（x-m）2頂點(diǎn)B（m，0），
y2=a（x+m） 2頂點(diǎn)A（-m，0），
交y軸于C（0，am 2），
∵tan∠ABC=2，
∴
CO
OB
=2，
即
am 2
m
=2，
∴am=2；

（2）①當(dāng)a=1時(shí)，m=2，
所以y1=（x-2） 2，
令Q（x，（x-2） 2），
則矩形MNPQ的周長(zhǎng)：L=2×2x+2（x-2） 2=2x 2-4x+8=2（x-1） 2+6，
所以，當(dāng)x=1時(shí)，周長(zhǎng)的最短為6，
此時(shí)Q（1，1）；

②存在點(diǎn)Q1（3，1），Q2（3-
2
，3-2
2
），Q3（3+
2
，3+2
2
）使得△CEQ與△QPB相似．
理由如下：∵當(dāng)a=1時(shí)，m=2，
∴am2=4，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，4），點(diǎn)B的坐標(biāo)是（2，0），
又∵Q（x，（x-2） 2），
∴CE=|4-（x-2） 2|=|x2-4x|，QE=x，
PQ=（x-2） 2，PB=|2-x|，
（i）當(dāng)CE和PQ是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，∵△CEQ與△QPB相似，
∴
CE
PQ
=
QE
PB
，
即
|x2-4x|
(x-2)2
=
x
|2-x|
，
整理得，|x-4|=|x-2|，
所以，x-4=-（x-2），
解得x=3，
此時(shí)（x-2） 2=（3-2） 2=1，
所以，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（3，1），
（ii）CE與PB是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，
∵△CEQ與△QPB相似，
∴
CE
PB
=
QE
PQ
，
即
|x2-4x|
|2-x|
=
x
(x-2)2
，
整理得，|x-4|×|x-2|=1，
所以，（x-4）（x-2）=1或（x-4）（x-2）=-1，
x2-6x+7=0或x2-6x+9=0，
解得x1=3-
2
，x2=3+
2
，x3=3，
當(dāng)x1=3-
2
時(shí)，（x-2） 2=（3-
2
-2） 2=3-2
2
，
當(dāng)x2=3+
2
時(shí)，（x-2） 2=（3+
2
-2） 2=3+2
2
，
綜上所述，存在點(diǎn)Q1（3，1），Q2（3-
2
，3-2
2
），Q3（3+
2
，3+2
2
）使得△CEQ與△QPB相似．
點(diǎn)評(píng)：本題是對(duì)二次函數(shù)的綜合考查，主要利用了二次函數(shù)的頂點(diǎn)式解析式求頂點(diǎn)坐標(biāo)，軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性與矩形的對(duì)稱(chēng)性以及矩形的周長(zhǎng)公式，二次函數(shù)的最值問(wèn)題，相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，但難度不大，要注意根據(jù)對(duì)應(yīng)邊不同分情況討論．
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相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，拋物線(xiàn)y1=-ax2-ax+1經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（-
1
2
，
9
8
），且與拋物線(xiàn)y2=ax2-ax-1相交于A，B兩點(diǎn)．
（1）求a值；
（2）設(shè)y1=-ax2-ax+1與x軸分別交于M，N兩點(diǎn)（點(diǎn)M在點(diǎn)N的左邊），y2=ax2-ax-1與x軸分別交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)（點(diǎn)E在點(diǎn)F的左邊），觀(guān)察M，N，E，F(xiàn)四點(diǎn)的坐標(biāo)，寫(xiě)出一條正確的結(jié)論，并通過(guò)計(jì)算說(shuō)明；
（3）設(shè)A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別記為xA，xB，若在x軸上有一動(dòng)點(diǎn)Q（x，0），且xA≤x≤xB，過(guò)Q作一條垂直于x軸的直線(xiàn)，與兩條拋物線(xiàn)分別交于C，D精英家教網(wǎng)兩點(diǎn)，試問(wèn)當(dāng)x為何值時(shí)，線(xiàn)段CD有最大值，其最大值為多少？

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，拋物線(xiàn)y1=-x2+2向右平移1個(gè)單位得到拋物線(xiàn)y2，則圖中陰影部分的面積是（　　）

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•宜賓）如圖，拋物線(xiàn)y1=x2-1交x軸的正半軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，將此拋物線(xiàn)向右平移4個(gè)單位得拋物線(xiàn)y2，兩條拋物線(xiàn)相交于點(diǎn)C．
（1）請(qǐng)直接寫(xiě)出拋物線(xiàn)y2的解析式；
（2）若點(diǎn)P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足∠CPA=∠OBA，求出所有滿(mǎn)足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）在第四象限內(nèi)拋物線(xiàn)y2上，是否存在點(diǎn)Q，使得△QOC中OC邊上的高h(yuǎn)有最大值？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)及h的最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，拋物線(xiàn)y1=ax2+bx和直線(xiàn)y2=kx+m相交于點(diǎn)（-2，0）和（1，3），則當(dāng)y2＜y1，時(shí)，x的取值范圍是
x＞1或x＜-2
x＞1或x＜-2
．

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