Question

（2012•平原縣一模）如圖，某小島受到了污染，污染范圍可以大致看成是以點(diǎn)O為圓心，AD長為直徑的圓形區(qū)域，為了測量受污染的圓形區(qū)域的直徑，在對(duì)應(yīng)⊙O的切線BD（點(diǎn)D為切點(diǎn)）上選擇相距300米的B、C兩點(diǎn)，分別測得∠ABD=30°，∠ACD=60°，則直徑AD是多少米？（結(jié)果精確到1米）

Answer 1

分析：方法一：根據(jù)假設(shè)CD=x，AC=2x，得出AD=

3

x，再利用解直角三角形求出x的值，進(jìn)而得出AD的長度；
方法二：根據(jù)三角形的外角性質(zhì)求出∠BAC=30°，從而得到∠B=∠BAC，根據(jù)等角對(duì)等邊可得AC=BC，再求出∠CAD=30°，然后利用∠CAD的余弦值列式計(jì)算即可求出AD．

解答：解：方法一：∵BD是⊙O的切線，
∴∠ADB=90°，
∵∠ABD=30°，∠ACD=60°，
∴設(shè)CD=x，則AC=2x，AD=

3

x，
tan∠ABD=

AD

BC+CD

=

3 x

300+x

，
∴

3

3

=

3 x

300+x

，
解得：x=150，
∴AD=

3

x=

3

×150≈260米；
方法二：∵∠ABD=30°，∠ACD=60°，
∴∠BAC=∠ACD-∠ABD=60°-30°=30°，
∴∠B=∠BAC，
∴AC=BC=300米，
∵BD是⊙O的切線，∠ACD=60°，
∴∠CAD=90°-∠ACD=90°-60°=30°，
在Rt△ACD中，AD=AC•cos∠CAD=300×

3

2

=150

3

≈260米．
答：直徑AD長度為260米．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)已知設(shè)出CD=x，AC=2x，從而表示出AD，進(jìn)而利用解直角三角形的知識(shí)解決是解決問題的關(guān)鍵．