Question

如圖，在平面直角坐標系中，矩形ABOC的邊BO在x軸正半軸上，邊CO在y軸的正半軸上，且AB=2，∠AOB=30°，將矩形ABOC繞點O逆時針旋轉后得到矩形EFOD，且點A落在y軸上的E點，點B，C的對應點分別是點F，D．
（1）求F，E，D的三點坐標；
（2）若拋物線y=ax²+bx+c經過點F，E，D，求此拋物線的解析式；
（3）在x上方的拋物線上求點P的坐標，使得三角形POB的面積等于矩形ABOC的面積．

Answer 1

解：（1）如圖1，過點D作DM⊥x軸，過點F作FN⊥x軸，
∵AB=2，∠AOB=30°，
∴AO=2AB=4，OB=AB•cot30°=2，
由旋轉不變性可得，EO=AO=4，OD=AB=2，OF=OB，
所以E的坐標為（0，4），
∵∠AOB=30°，
∴∠AOC=90°-∠AOB=90°-30°=60°，
∴∠DOE=∠AOC=60°，
∴∠DOM=90°-∠DOE=90°-60°=30°，
在Rt△DOM中，DM=OD=×2=1，OM=OD•cos∠DOM=2×cos30°=，
所以點D的坐標為（-，1），
由圖可知，旋轉角為60°，所以∠FON=60°，
所以，ON=OF•cos60°=2×=，
FN=OF•sin60°=2×=3，
所以F的坐標為（，3）；

（2）由題意得：，
解得，
所以，拋物線的解析式為y=-x²+x+4；

（3）如圖2，因為△POB與矩形ABOC有公共的底邊OB，
且面積相等，所以y_p=2y_c=4，
由-x²+x+4=4，
整理得，2x²-x=0，
解得x₁=0或x₂=，
所以P的坐標是（0，4）或（，4）．
分析：（1）根據解直角三角形求出AO、BO的長度，根據旋轉變換的性質可得OE、OD、OF的長度，根據OE的長度可得點E的坐標，根據OD的長度，過點D作DM⊥x軸于點M，利用解直角三角形求出OM、DM的長度，然后得到點D的坐標，再根據OF的長度，過點F作FN⊥x軸于點N，利用解直角三角形求出ON、FN的長度，從而得到點F的坐標；
（2）根據點F、E、D的坐標，利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答；
（3）根據OB是公共底邊且面積相等，可得點P的縱坐標是4，然后代入二次函數(shù)解析求解即可．
點評：本題是對二次函數(shù)的綜合考查，主要有矩形的性質，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質，旋轉變換的性質，解直角三角形，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，要注意旋轉變換前后線段的不變以及角度的不變性．