Question

已知：如圖：菱形ABCD中，∠BAD=120°，動(dòng)點(diǎn)P在直線BC上運(yùn)動(dòng)，作∠APM=60°，且直線PM與直線CD相交于點(diǎn)Q，Q點(diǎn)到直線BC的距離為QH．

（1）若P在線段BC上運(yùn)動(dòng)，求證CP=DQ；
（2）若P在線段BC上運(yùn)動(dòng)，探求線段AC、CP、CH的一個(gè)數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（3）若動(dòng)點(diǎn)P在直線BC上運(yùn)動(dòng)，菱形ABCD周長為8，AQ=

6

，求QH．（可使用備用圖）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，作PE∥CD交AC于E，可證得△APE≌△QPC，△APQ是等邊三角形，然后再證△AQD、△APC全等即可．
（2）根據(jù)AC=CD=CQ+QD=CQ+PC，在Rt△CQH中，∠QCH=60°，那么CQ=2CH，得解；
（3）用方程思想，在Rt△PQH中，結(jié)合勾股定理即來解．要注意分兩種情況討論：
①點(diǎn)P在射線BC上時(shí)，②點(diǎn)P在CB的延長線上時(shí)．（兩種情況下PH的表達(dá)式有差別）

解答：（1）證明：作PE∥CD交AC于E，則△CPE是等邊三角形∠EPQ=∠CQP．
又∵∠APE+∠EPQ=60°，∠CQP+∠CPQ=60°
∴∠APE=∠CPQ
又∵∠AEP=∠QCP=120°，PE=PC
∴△APE≌△QPC
∴AE=QC，AP=PQ，
∴△APQ是等邊三角形，
∴∠2+∠3=60°，
∵∠1+∠2=60°，
∴∠1=∠3，
在△AQD和△APC中

∠D=∠ACP ∠1=∠3 AQ=AP

，
∴△AQD≌△APC（AAS），
∴CP=DQ．

（2）∵AC=CD，CD=CQ+QD，
∴AC=CQ+QD，
∵CP=DQ，
∴AC=CQ+PC，
又∵∠CHQ=90°，∠QCH=60°，
∴∠CQH=30°，
∴CQ=2CH，
∴AC=CP+2CH；

（3）此題分兩種情況討論：
①當(dāng)點(diǎn)P在射線BC上時(shí)；
設(shè)CH=x，則QH=

3

x，PC=2-2x，由勾股定理得，
（

3

x）²+（2-x）²=6，解得x=

1± 3

2

（舍去負(fù)的），
∴x=

1+ 3

2

，∴QH=

3

x=

3+ 3

2

．
②當(dāng)點(diǎn)P在CB的延長線上時(shí)（如圖）；
在Rt△CHQ中，∠PCQ=60°，
設(shè)CH=x，QH=

3

x，CQ=2x；
則PH=PC-CH=2+2x-x=2+x；
在Rt△PHQ中，PQ=AQ=

6

，PH=2+x，QH=

3

x，由勾股定理得：
（2+x）²+3x²=6，解得：x=

-1± 3

2

（負(fù)值舍去）；
∴QH=

3

x=

3- 3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題是一道綜合性很強(qiáng)的題目，考查了三角形的全等，勾股定理及動(dòng)點(diǎn)問題，是中考?jí)狠S題，難度較大．