Question

如圖，△ABC是等腰直角三角形，AB=，D為斜邊BC上的一點（D與B、C均不重合），連接AD，把△ABD繞點A按逆時針旋轉(zhuǎn)后得到△ACE，連接DE，設(shè)BD=x．
（1）求證∠DCE=90°；
（2）當△DCE的面積為1.5時，求x的值；
（3）試問：△DCE的面積是否存在最大值？若存在，請求出這個最大值，并指出此時x的取值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵△ABD繞點A按逆時針旋轉(zhuǎn)后得到△ACE，
∴△ACE≌△ABD，
∴∠ABD=∠ACE，
又∵△ABC是等腰直角三角形，且BC為斜邊，
∴∠ABD+∠ACD=90°，
∴∠ACE+∠ACD=90°，
即：∠DCE=90°；

（2）∵AC=AB=，
∴BC²=AC²+AB²=，
∴BC=4．
∵△ACE≌△ABD，∠DCE=90°，
∴CE=BD=x，而BC=4，
∴DC=4-x，
∴Rt△DCE的面積為：DC•CE=（4-x）x．
∴（4-x）x=1.5，
即x²-4x+3=0．
解得x=1或x=3．

（3）△DCE存在最大值．
理由如下：設(shè)△DCE的面積為y，于是得y與x的函數(shù)關(guān)系式為：
y=（4-x）x（0＜x＜4），
=-（x-2）²+2，
∵a=-＜0，
∴當x=2時，函數(shù)y有最大值2．
又∵x滿足關(guān)系式0＜x＜4，
故當x=2時，△DCE的最大面積為2．
分析：（1）△ABC是等腰直角三角形，△ABD繞點A按逆時針旋轉(zhuǎn)后得到△ACE，得到∠ABD與∠ACE相等，進而得到∠ACE+∠ACD=90°即證得；
（2）由直角三角形到△ACE≌△ABD，從而得直角三角形的面積公式而解得；
（3）通過函數(shù)式的判斷來得到．
點評：本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，及一元二次方程、二次函數(shù)等基礎(chǔ)知識，考查等價轉(zhuǎn)換思想，運算求解等能力和創(chuàng)新意識等．