Question

如圖1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，MN是經(jīng)過點(diǎn)A的直線，BD⊥MN于D，CE⊥MN于E．
（1）求證：BD=AE．
（2）若將MN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使MN與BC相交于點(diǎn)G （如圖2），其他條件不變，求證：BD=AE．
（3）在（2）的情況下，若CE的延長線過AB的中點(diǎn)F（如圖3），連接GF，求證：∠AFE=∠BFG．

Answer 1

分析：（1）首先證明∠1=∠2，再證明△ADB≌△CEA，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得BD=AE；
（2）首先證明∠BAD=∠ACE，再證明△ABD≌△ACE，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得BD=AE；
（3）首先證明△ACF≌△ABP，然后再證明△BFG≌△BPG，再根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠BPG=∠BFG，再根據(jù)等量代換可得結(jié)論∠BFG=∠AFE．

解答：證明：（1）∵BD⊥MN，CE⊥MN，
∴∠BDA=∠AEC=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠1+∠2=90°，
又∵∠3+∠2=90°，
∴∠1=∠3，
在△ADB和△CEA中，

∠BDA=∠AEC ∠3=∠1 AB=AC

，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴BD=AE；

（2）∵BD⊥MN，CE⊥MN，
∴∠BDA=∠CEA=90°，
∵∠BAD+∠CAE=90°，
∠ACE+∠CAE=90°，
∴∠BAD=∠ACE，
在△ABD和△ACE中，

∠BDA=∠CEA ∠BAD=∠ACE AB=AC

，
∴△ABD≌△ACE（AAS），
∴BD=AE；

（3）過B作BP∥AC交MN于P，
∵BP∥AC，
∴∠PBA+∠BAC=90°，
∴∠BAC=90°，
∴∠PBA=∠BAC=90°，
由（2）得：∠BAP=∠ACF，
∴在△ACF和△ABP中，

∠PBA=∠FAC AB=AC ∠BAP=∠ACF

，
∴△ACF≌△ABP（ASA），
∴∠AFC=∠BPA，AF=BP
∵BF=AF，
∴BF=BP，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°，
又∵∠PBA=90°，
∴∠PBG=45°，
∴∠ABC=∠PBG，
在△BFG和△BPG中，

BF=BP ∠FBG=∠PBG BG=BG

，
∴△BFG≌△BPG（SAS），
∴∠BPG=∠BFG，
∵∠BPG=∠AFE，
∴∠BFG=∠AFE．

點(diǎn)評：此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定方法與性質(zhì)定理，全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．