Question

如圖，已知正方形ABCD的邊長為4cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以2cm/s的速度、沿B→C→D方向，向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，以1cm/s的速度、沿A→B方向，向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．若P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）連接PD、PQ、DQ，設(shè)△PQD的面積為S，試求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在這樣的t，使得△PQD是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出符合條件的t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）以點(diǎn)P為圓心，作⊙P，使得⊙P與對(duì)角線BD相切．問：當(dāng)點(diǎn)P在CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在這樣的t，使得⊙P恰好經(jīng)過正方形ABCD的某一邊的中點(diǎn)若存在，請(qǐng)求出符合條件的t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）可根據(jù)三角形PQD的面積=梯形ABPD的面積-三角形AQD的面積-三角形BPQ的面積來求解，根據(jù)P，Q的速度，可以表示出AQ、BQ、BP，那么就能表示出兩直角三角形的直角邊以及梯形的兩底和高，可根據(jù)各自的面積計(jì)算公式得出S、t之間的函數(shù)關(guān)系式．
（2）要分三種情況進(jìn)行討論：
當(dāng)PD=QD時(shí)，根據(jù)斜邊直角邊定理，我們可得出三角形AQD和CPD全等，那么可得出CP=AQ，可用時(shí)間t分別表示出AQ、CP的長，然后可根據(jù)兩者的等量關(guān)系求出t的值．
當(dāng)PD=PQ時(shí)，可在直角三角形BPQ和PDC中，根據(jù)勾股定理，用BQ、BP表示出PQ，用CP、CD表示出PD；BQ、BP、PC都可以用t來表示，由此可得出關(guān)于t的方程，解方程即可得出t的值．
當(dāng)QD=PQ時(shí)，方法同上．
（3）應(yīng)當(dāng)考慮兩種情況：
①圓心P經(jīng)過BC的中點(diǎn)，如果設(shè)圓與BD相切于M，BC的中點(diǎn)是E，那么PM=PE，可用時(shí)間t表示出CP的長，也就能表示出DP的長，那么可以根據(jù)勾股定理在直角三角形CEP中表示出PE²的長，也就表示出了PM²的長，然后根據(jù)∠MDP的正弦值表示出DP，PM的關(guān)系，由此可得出關(guān)于t的方程，進(jìn)而求出t的值．
②圓心P經(jīng)過CD的中點(diǎn)，如過CD的中點(diǎn)是E，那么PM=PE，在直角三角形DMP中，DP=2-半徑的長，PM=半徑的長，因此可根據(jù)∠MDP的正弦函數(shù)求出半徑的長，然后用t表示出CP，即可求出t的值．

解答：解：（1）當(dāng)0≤t≤2時(shí)，即點(diǎn)P在BC上時(shí)，
S=S_{正方形ABCD}-S_△ADQ-S_△BPQ-S_△PCD=16-

1

2

•4•t-

1

2

•2t•（4-t）-

1

2

•（4-2t）•4=t²-2t+8，
當(dāng)2＜t≤4時(shí)，即點(diǎn)P在CD上時(shí)，DP=8-2t，
S=

1

2

•（8-2t）•4=16-4t．


（2）①若PD=QD，則Rt△DCP≌Rt△DAQ（HL）．
∴CP=AQ．即t=4-2t，解得t=

4

3

．
②若PD=PQ，則PD²=PQ²，即4²+（4-2t）²=（4-t）²+（2t）²．
解得t=-4±4

2

，其中t=-4-4

2

＜0不合題意，舍去，∴t=-4+4

2

．
③若QD=PQ，則QD²=PQ²，即16+t²=（4-t）²+（2t）²，解得t=0或t=2，
∴t=

4

3

或t=-4+4

2

或t=0或t=2時(shí)，△PQD是等腰三角形．

（3）當(dāng)P在CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，若⊙P經(jīng)過BC的中點(diǎn)E，設(shè)⊙P切BD于M．
則CP=2t-4，PM²=PE²=（2t-4）²+2²．
而在Rt△PMD中，由于∠PDM=45°，所以DP=

2

PM，即DP²=2PM²．
∴（8-2t）²=2[（2t-4）²+2²]．
解得t=±

6

，負(fù)值舍去，
∴t=

6

，
若⊙P經(jīng)過CD的中點(diǎn)，⊙P的半徑r=2（

2

-1），
故t=2+

2

，
故當(dāng)點(diǎn)P在CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，若t=

6

或2+

2

，則⊙P恰好經(jīng)過正方形ABCD的某一邊的中點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定，切線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．要注意（2）（3）中不同的情況要進(jìn)行分類討論，不要丟掉任何一種情況．